Метод простых итераций Алгоритм метода состоит из трёх этапов.
Первый этап. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного:
x1 x2
.......
xn
где di
|
|
|
|
a11x1 |
|
a12x2 |
....... |
a1n xn |
b1 |
|
||
|
|
. |
a21x1 |
|
a22x2 |
....... |
a2n xn |
|
b2 |
|
||
|
|
......... |
.......... ....... ........... .... |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
an1x1 |
an2x2 |
....... |
ann xn |
|
bn |
|
||
d1 |
|
( 0 x1 |
c12x2 |
c13x3 |
..... |
c1n xn ) |
||||||
d2 |
|
|
( c21x1 |
0 x2 |
c23x3 |
..... |
c2n xn ) |
|||||
........ ........... |
.......... |
........... ......... ........... |
||||||||||
dn |
( cn1x1 |
cn2x2 |
cn3x3 |
..... |
0 xn ), |
|||||||
|
bi |
|
|
|
0 |
при i j |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
aii |
|
|
cij aij |
при i j |
i 1,2,3, , n; j 1,2,3, ,n |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
aii |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда итерационную формулу запишем в виде:
k |
k 1 |
k 1,2,3, |
12 |
x |
d C x ; |
где вектор d – приведенный столбец свободных членов,матрица
C – приведенная матрица коэффициентов.
|
|
Второй этап. Проверяем условие сходимости |
|| C || 1 |
если условие не выполняется, то преобразуем исходную систему и выполняем 1-й этап. Третий этап. Осуществляем уточнение решения по полученной итерационной формуле.
k |
|
k 1 |
k 1,2,3, |
|
0 |
|
|
x |
d |
C x ; |
За начальное приближение принимается x |
d |
|||
Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия |
|
||||||
|
|
|
|
k |
k 1 |
|| |
|
|
|
|
|
|| x |
x |
|
|
|
|
где величина ε определяет точность получаемого решения |
|
||||
|
|
|
k |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
а x и |
x |
– смежные приближения к решению. |
|
|
13
Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0.4
4.00 |
1.00 |
1.00 |
x1 |
|
6.00 |
|||||
|
2.00 |
5.50 |
1.00 |
|
|
|
|
|
8.50 |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2.00 |
1.00 |
4.00 |
x3 |
|
7.00 |
||||
Преобразуем исходную систему к итерационному виду.
|
k |
|
k 1 |
k 1,2,3, |
|||||
|
x |
d |
C x , |
||||||
|
0.00 |
0.25 |
0.25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
0.78 1 |
|
C |
0.00 |
|
|
|
|
||||
0.36 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
||
|
0.50 |
0.25 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
1.50 |
0 |
|
||
|
|
|
|||
|
|||||
d 1.55 |
|
x |
d |
||
|
|
||||
|
1.75 |
|
|
||
14
(k)
x d
(1) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50
(2) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50
(3) 0.00 x 1.55 0.361.75 0.501.50
(4) 0.00 x 1.55 0.36
1.75 0.501.50
Ответ:
|
|
|
|
|
|
(k 1) |
|
|
(k) |
|
|
|
|
|
|
||||
C |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
0.25 |
0.25 |
1.50 |
|
0.68 |
|
0.82 |
|||||||||||||
0.00 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.86 |
|
|||||
|
1.55 |
|
|
0.68 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0.25 |
0.00 |
1.75 |
|
|
0.61 |
|
1.14 |
|
|||||||||||
0.25 |
0.25 |
0.68 |
|
1.18 |
|
0.50 |
|
||||||||||||
0.00 |
0.18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0.68 |
|
1.19 |
|
|
0.51 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.25 |
0.00 |
|
0.61 |
|
1.24 |
|
|
0.63 |
|
||||||||||
0.25 |
0.25 |
1.18 |
|
0.89 |
|
0.28 |
|||||||||||||
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
0.89 |
|
|
|
0.30 |
|
||||||
0.18 |
|
1.19 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0.25 |
0.00 |
1.24 |
|
0.86 |
|
0.38 |
|||||||||||||
0.25 |
0.25 |
0.89 |
|
1.06 |
0.17 |
|
|||||||||||||
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.17 |
|
|
|||||
0.18 |
|
|
0.89 |
|
|
1.06 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0.25 |
0.00 |
0.86 |
|
1.08 |
0.22 |
|
|||||||||||||
|
1.06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
1.06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x
1.65
0.95
0.56
0.32
15
Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса 1.000 |
6.000 |
1.000 |
|
x1 |
|
|
0.000 |
|
|||
с частичным выбором. |
|
2.000 |
1.000 |
5.000 |
|
|
|
|
|
10.000 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5.000 |
1.000 |
2.000 |
|
x3 |
|
|
10.000 |
|
|
Первый этап. Строим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому виду.
На первом шаге преобразования к=1 |
|
5 |
1 |
2 |
|||
наибольший |
по |
абсолютной |
величине |
||||
элемент в первом столбце (5) расположен в |
|
2 |
1 |
5 |
|||
третьей строке матрицы, поэтому меняем |
|
|
|
|
|||
первую и третью строки и производим |
1 |
6 |
1 |
||||
необходимые преобразования. |
|
|
|
|
|
||
На втором шаге преобразования к=2 |
5 |
|
1 |
2 |
|||
наибольший |
по |
абсолютной |
величине |
|
|||
элемент во втором столбце (6.2) |
|
|
6.2 |
1.4 |
|||
расположен в третьей строке матрицы, |
0 |
|
|||||
поэтому меняем вторую и третью строки |
0 |
|
1.4 |
4.2 |
|||
ипроизводим необходимые
преобразования. |
3 |
x2 (2 1.4 3) 6.2 1 |
|||||||
Вычисляем |
x3 13.548 |
||||||||
Второй этап. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неизвестные. |
4.516 |
|
|
|
|
3 |
6.2 |
6.2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
ответ |
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
6 |
1 |
|
0 |
|
||||
2 |
1 |
5 |
|
10 |
|
|
|
|
|
5 |
1 |
2 |
|
10 |
10 |
5 |
1 |
2 |
|
|
|
10 |
|||
|
||||||||||
10 |
|
0 |
1.4 |
4.2 |
|
|
|
14 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
6.2 |
1.4 |
|
2 |
||||
|
10 |
5 |
1 |
2 |
|
|
|
10 |
||
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
0 |
6.2 |
1.4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
0 |
0 |
4.516 |
|
|
13.548 |
||
x1 10 (( 1) 1 2 3) 3 5
16