ВычМат_Лекции_2013 / Лекции по ВычМат VBA / VM-07
.pptСистема нелинейных уравнений (СНУ).
В общем случаи систему нелинейных уравнений можно записать как:
f1 |
(x1, x2 |
,x3,....., xn ) 0 |
|
|
|
|
||||||
f |
2 |
(x , x |
2 |
,x |
3 |
,....., x |
n |
) 0 |
или |
|
||
|
1 |
|
|
|
f ( x ) 0 |
|
||||||
. . . . . . . . . |
|
|
|
|
||||||||
f |
n |
(x , x |
2 |
,x |
3 |
,....., x |
n |
) 0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Решением СНУ является такой вектор |
x* |
при подстановке которого в систему последняя обращается в тождество.
|
Метод простых итераций. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразуем Систему нелинейных уравнений к эквивалентному виду: |
x |
( x ) |
|||||||
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
Выберем некоторое начальное приближение |
x |
Последующие приближения найдем |
|||||||
(1) |
(0) |
(2) |
|
(1) |
); |
(3) |
(2) |
); |
|
по формулам x |
( x |
); x |
|
( x |
x |
( x |
|||
|
|
|
|
(k) |
|
(k 1) |
|
|
|
Произвольное приближение запишем как: |
|
x |
|
( x |
) |
|
|
1
|
(k) |
(k) |
(k 1) |
|
На каждой итерации вычисляем вектор |
x |
x |
x |
|
|
|
|
|
(k) |
и проверяем условие окончания итерационного процесса || x |
|| |
где заданная точность
Решить СНУ с точностью =0.1
Преобразуем каждое уравнение
2x1
3x12
x1
x2
2 |
1 0 |
|
|
(0) |
|
0.5 |
x2 |
|
при |
x |
|
||
|
|
|
|
|
||
x2 |
2 0 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1( x ) x2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
2 ( x ) 3x12 2
|
x |
|
(1) |
|
(0) |
|
|
0.52 1 |
|
|
0.63 |
; |
(1) |
|
0.13 |
(1) |
|| 1.7544 |
||
1 |
|
1( x |
) |
|
2 |
|
|
|
x |
|
; || x |
||||||||
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
|
( x |
|
3 |
0.5 |
2 |
2 |
|
1.25 |
|
-1.75 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
x1 |
(2) |
|
(1) |
|
|
|
1.25 |
2 |
|
|
1.28 |
|
|
|
(2) |
0.65 |
|
|
(2) |
|
|||||||
|
|
1( x |
) |
|
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|| 0.7802 |
|||||||||||||
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
; || x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
3 0.63 |
2 |
|
0.83 |
|
|
|
|
|
0.42 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 ( x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x1 |
(3) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0.84 |
|
|
|
(3) |
- 0.44 |
|
|
(3) |
|
||||||
|
|
1( x |
|
) |
|
( 0.83 |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|| 3.7784 |
||||||||||
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; || x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3.75 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
3 |
1.28 |
2 |
|
2.92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 ( x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итерационный процесс расходится.
x1
Попробуем, по другому осуществить преобразование.
x2
|
|
|
|
x2 |
2 |
||
1( x ) |
|||
|
3 |
||
|
|
2 ( x ) 2 x1 1
x1 |
(1) |
|
(0) |
|
|
|
0.5 2 |
|
|
0.913 |
(1) |
|
0.413 |
(1) |
|
|
|
|
1 |
( x |
(0) |
) |
|
|
3 |
|
|
; |
x |
|
; || x |
|| 0.648 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 0.5 1 |
0.000 |
|
|
0.500 |
|
3 |
|||
|
|
2 |
( x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
(2) |
0.816 |
(2) |
x1 |
(3) |
0.985 |
|
(3) |
|||
|
|
|
; |
|| x |
|| 0.9138 |
|
|
|
; |
|| x |
|| 0.202 |
x2 |
0.909 |
|
|
x2 |
0.796 |
|
|
||||
x1 |
(4) |
0.965 |
|
(4) |
x1 |
(5) |
0.997 |
(5) |
|||
|
|
|
; |
|| x |
|| 0.189 |
|
|
|
; |
|| x |
|| 0.038 |
x2 |
0.985 |
|
|
x2 |
|
0.965 |
|
|
Процесс сходится к решению.
Если не удаётся преобразовать исходную СНУ к итерационному виду, который будет сходится, то можно воспользоваться общим приемом.
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) 0 ; |
f ( x ) 0 ; |
x |
x f ( x ) |
|
|||
|
|
|
(k) |
(k 1) |
(k 1) |
) |
|
Итерационную формулу запишем |
x |
x |
f ( x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где матрицу |
|
|
|
|
|
можно представить диагональной, а подбором значений элементов, можно добиться 4 сходимость итерационного процесса.
Метод Ньютона-Рафсона |
|
|
|
||
(k 1) |
|
|
|
|
|
Пусть известно некоторое приближение x |
к решению |
x* |
|
|
|
(k 1) |
(k) |
|
(k) |
|
(k 1) |
Запишем исходную систему в виде f ( x |
x |
) 0 , |
где x |
x* x |
Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами.
(k 1) |
|
(k) |
|
(k 1) |
|
|
|
(k 1) |
(k) |
|
|||
|
|
|
|
f ( x |
) |
|
|||||||
f ( x |
x |
) f ( x |
) |
|
x |
0 |
|||||||
(k 1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(k 1) |
(k) |
|
(k 1) |
|
|
||||||
|
|
f ( x |
) |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
f ( x |
) |
|
|
||||||
|
|
(k 1) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k)
Это система линейных уравнений относительно x
5
Матрица Якоби
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) |
|
f2 ( x ) |
J |
|
|
x1 |
|
|
|
|
||
|
|
x |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn ( x ) |
|
|
|
|
x1 |
f1( x )
x2
f2 ( x )x. 2
fn ( x )
x2
|
|
|
. |
f ( x ) |
|
1 |
|
|
|
xn |
|
|
|
|
. |
f2 ( x ) |
|
xn |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
. |
|
|
fn ( x ) |
||
|
xn |
|
|
(k) |
|
(k 1) |
|
1 |
|
|
(k 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда x |
|
J |
|
|
|
( f ( x |
|
)), а новое приближение к решению СНУ будет |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(k) |
|
|
|
|
|
(k) |
|
(k) |
(k 1) |
(k 1) |
|
|
|||
|
(k 1) |
|
|
(k 1) |
)) |
||||||||||
иметь вид: x |
|
x |
|
x |
или |
x |
x |
J |
|
( f ( x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие окончания итерационного процесса является выполнения неравенства
(k) |
(k) |
(k) |
(k 1) |
x |
, где x |
x |
x |
6
|
Решить приведенный выше пример =0.1 |
|
(0) |
|
0.5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 x2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
6 x |
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
(1) |
x1 |
|
(0) |
|
|
2 |
|
|
2 x02 |
|
1 |
|
|
(0) |
|
|
0.5 |
|
2 |
1 |
1 |
|
|
0.25 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
f ( x |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
( x |
|
|
0.5 |
|
|
1 |
|
|
|
1.75 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
f2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
1 |
1 |
|
0.25 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0.5 |
|
|
3 |
2 |
|
|
1.75 |
|
|
3.25 |
|||
|
x |
|
(2) |
|
1.323 |
|
(2) |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|| x |
|
|| 1.53 |
|||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||
x |
2 |
|
|
1.878 |
|
|
|
|
|
||||
|
x |
(4) |
1.007 |
|
(4) |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|| x |
|
|| 0.223 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||
x |
2 |
|
|
1.029 |
|
|
|
|
|
(1) |
|
1.5 |
(1) |
|| 3.132 |
x |
|
; || x |
||
|
|
2.75 |
|
|
|
x |
|
(3) |
1.070 |
|
(3) |
|
1 |
|
|
|| x |
|| 0.684 |
|||
|
|
|
|
|
; |
||
x2 |
|
|
1.243 |
|
|
|
x |
|
(5) |
1.000 |
|
(5) |
|
1 |
|
|
|| x |
|| 0.029 |
|||
|
|
|
|
|
; |
||
x2 |
|
|
1.001 |
|
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
1.000 |
f1 |
(x1 |
, x2 ) |
|
0.001 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
x2 |
1.001 |
f1 |
(x1, x2 ) |
|
0.000 |
8