- •Симметрия молекул и кристаллических структур
- •ОТ АВТОРА
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1.2. Теоремы о комбинациях закрытых элементов симметрии
- •1.3. Семейства точечных групп низшей и средней категории
- •1.7. Типы изоэдров
- •Глава 2.Точечные группы симметрии
- •2.2. Закрытые операции симметрии
- •2.5. Изоморфизм и соподчинение точечных групп
- •2.6. Классы сопряженных элементов точечных групп
- •Глава 3.Группы трансляций
- •3.2. Симметрия решетки
- •3.3. Кристаллографические системы координат
- •3.4. Типы решеток (типы Бравэ)
- •3.7. Индексы узлов, узловых рядов, узловых сеток
- •4.1. Тензоры физических свойств кристаллов
- •4.3. Двупреломление, оптическая активность и энантиоморфизм кристаллов
- •5.1. Открытые элементы симметрии и их изображение
- •5.4. Определение и примеры пространственных групп
- •5.5. Системы эквивалентных позиций (орбиты) в пространственных группах. Интернациональные таблицы
- •7.3. Сверхсимметрия (нефедоровские пространственные группы)
- •Рекомендуемая литература
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
3.2. СИММЕТРИЯ РЕШЕТКИ
Представим совокупность трансляций, составляющих некотору ю трехмерную группу вТ, виде пучка векторов, исходящих з
начала координат. Поскольку такая фигура имеет особенную неповторяющуюся точку, ее симметрия может быть описана точеч-
ной группой. Будем считать,чт это |
а группа выражает «симметрию |
|||||
решетки», и назовем ее |
группой |
/С. |
К. Для |
решения |
этого1 |
|
|
Выясним, какой может быть группа |
|||||
исключительно важного вопроса |
потребуется ряд теорем. |
|
||||
и з |
Теорема \. Группа К содержит центр |
инверсии. Это вытекает |
||||
того,чт о нарядус о |
всяким векторомt |
группаТ |
содержит |
век- |
||
от р |
—t. |
|
|
|
|
|
Теорема 2. Группа К не содержит осей симметрии (поворотных
и инверсионных) пятого, седьмого и более высоких порядков и
может содержать оси второго, третьего, четвертого и Щестого порядков.
Доказательство. |
ЕслиК |
содержитос |
пь |
(или гдп), е я>2,т о |
хотяб ы |
одна |
трансляция группыТ |
перпендикулярна |
этой |
оси. Действительно, |
пусть |
вектор |
ti, входящий в Т, не параллелен п (или п). Под действием операции п (или п)
ti преобразуетсяв |
t2. ^Очевидно, |
вектор ti—12 (или+ti |
t2) принадлежитТ и |
пер- |
|||||
пендикуляренп |
(или п). |
|
з |
трансляций, принадлежащихТ и |
перпендикуляр- |
||||
Пусть—t0 |
кратчайшаяи |
||||||||
ныхос пи ; |
будем |
считать,чт |
о |
/0 |
исходит з узла Ль |
лежащегоноса |
и пи(\) |
|
|
определяет |
узловойяр д AiA2 |
(рис. 3.2.1,а; подразумевается,чсо о ь n(i) перпен- |
|
а
|
Рис. |
3.2 1. К |
доказательству теоремы |
о порядках осей, до- |
|
|||
|
а — |
|
пустимых для группы |
/<": |
|
|
|
|
|
случай поворотных осей, б — случай инверсионных |
|
||||||
|
|
|
|
осей |
|
|
|
|
дикулярна плоскости чертежа). Через узел Л |
я(2) узел AI |
преобразуетсяв |
||||||
ri(i)и |
параллельная Поей |
д |
действием операции |
|||||
узел Л/; под действием операции, обратной по отношению к щ^, узел Л |
||||||||
разуетсяв Аг. Очевидно,чт |
о |
отрезок Л/Л/ параллелен |
отрезку |
Л |
|
|||
вательно, узловой ряд Л/Л/ идентичен узловому ряду Л1Л |
|
ясно, что |
||||||
Ai'Az'^mto, где т — целое число. С другой стороны, из рис. 3.2.1, а |
||||||||
У41 |
/Л2/ = 10—2t0cos ф. Следовательно, mto = t0—2t0cos иф |
—1 т |
Поэтому |
|||||
cos ф =—-—• |
104
m может |
принимать лишь следующие значения: — 1, О, 1, 2, 3. |
Тогда |
ср = 0°, 60°, |
|||||
90°, |
120°, |
180°, |
и порядок |
поворотной оси соответственно может |
быть |
равен 1, 6, |
||
4, 3 |
или 2. |
|
А\и |
|
|
|
|
|
|
Если |
через |
узлы |
Л2 проходят инверсионные и я,от , |
используя |
- |
||
строение, |
показанноен а |
рис. 3.2.1,6, аналогичным способом |
получим соотноше- |
|||||
ния |
mto= |
|
|
|
га— 1 |
|
|
+2t |
|
|
|
t |
|
|
Теорема3. |
Если |
группаК |
содержит подгруппу |
Сл, егд |
п^ |
|
|
|
||||||||||||
= 3,4,6, то она содержит и подгруппу Cnv |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Доказательство. Пусть |
ось |
п проходит через узел О, |
а |
ОА |
— |
кратчайшая |
||||||||||||||
из трансляций, перпендикулярных к этой |
оси (рис. |
3.2.2). Размножим |
ОА |
дей- |
||||||||||||||||
ствиемос п и и |
|
построим |
соответствующую |
узловую |
сетку (совокупность |
узлов, |
|
|||||||||||||
обозначенных кружками, на |
рис. |
3.2.2). При п — 4 эта |
сетка |
состоит |
из квадратов, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
-о |
|
-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
О |
|
|
|
|
|
|
-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
3.2.2К. |
доказательству |
теоремыо |
наличии |
вертикальных |
пло- |
|
|
|||||||||||
|
|
|
скостей симметрии в решетках |
с осями высшего порядка: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
— |
а случай |
/г=б—4, |
случай |
п =6ли 3и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при |
п = 3 или 6 — из |
равносторонних |
треугольников. Пространственная |
узловая |
||||||||||||||||
решетка |
представляет |
собой совокупность |
идентичных параллельныхи |
равноот- |
||||||||||||||||
стоящих |
сеток, и группа симметрии каждой из этих сеток должна |
включать в |
||||||||||||||||||
себя |
исходнуюос |
пь . |
Следовательно,пр |
и я=4 |
сетка, ближайшаяк |
исходной,мо |
- |
|
||||||||||||
жет занимать лишь одно из двух положений: а) |
она |
будет |
точно |
проектировать- |
||||||||||||||||
сян |
а |
исходную |
сетку,чт |
о |
приводитк |
решетке, |
состоящейи |
з |
|
прямых |
квадра |
|||||||||
r0ных призм,бон ) а займет положение, показанное а |
рис. |
3.2.2,а |
|
штриховыми |
||||||||||||||||
линиями; |
|
поскольку вектор |
0В |
— это -трансляция, следующая (третья) сетка |
бу- |
|||||||||||||||
де т |
опять-таки |
проектироватьсян |
а |
исходную |
снова получится |
решетка, сло- |
||||||||||||||
женная из прямых квадратных призм, но с дополнительными узлами в их цент- |
||||||||||||||||||||
Прах. |
даст |
|
|
ип |
6 — |
|
соседняя сетка обязательно должна про |
|||||||||||||
что |
|
решетку, образованную правильными трехгранными призмами |
(парал- |
|||||||||||||||||
лелепипед |
повторяемости можно выбрать |
виде прямой призмы,в |
|
основанийко |
- |
105
торой лежит ромб с углом 120°). Наконец, при п= 3 смежная сетка расположится так, как это показано на рис.3.2.2,6 штриховыми линиями, следующая (третья) сетка займет положение, изображенное штрих-пунктирными линиями, лишь четвертая сетка будет проектироваться на исходную. Возникновение описанной
узловой решетки обусловлено тем, что |
вектор |
0В — это трансляция, порождаю- |
ща я узловойря д ОВС. Здесь присутствуют |
такиеж е |
параллелепипеды повторяе- |
мости, как и в предыдущем случае, но с двумя дополнительными узлами на объемной диагонали. Все построенные решетки имеют п вертикальных плоскостей
симметрии, проходящихпо |
д соответствующими |
углами |
через исходныеос и /г, |
|||
что и требовалось доказать. |
|
|
упростить, опустив |
детальное |
||
Приведенное доказательство можно было ы |
||||||
описание возникающих |
решеток, |
однакоэт о |
описание будет |
полезнодлна я вс |
|
|
дальнейшем. |
|
|
|
|
|
|
И з множества точечных |
групп |
лишь |
семь удовлетворяют тре- |
|||
бованиям всех трех |
сформулированных теорем,а |
именно |
группы: |
1, 2/m, mmm, 4/mmm, Зга, 6/гагага, гаЗт. Только такую симметрию может иметь пучок трансляций Т. Соответственно только эти груп-
пы, называемые голоэдрическими, могут |
описывать симметрию |
трехмерной узловой решетки (если одини з |
узлов этой решетки— |
—началокоординат |
считать особенной точкой). |
3.3. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
В настоящем разделе нам предстоит познакомиться с так на-
зываемыми кристаллографическими координатными системами,
которые имеют существенные |
преимущества |
и описании |
строе- |
ни я свойств кристаллов. Такиеос |
и координат |
направляютп |
о |
узловым рядам с учетом симметрии решетки, причем каждой из голоэдрических группК удается приписать специфическую естественную систему координат. Но прежде чем перейти к описанию таких систем, нам будет необходимо ввести некоторые важные
понятия.
Направление в трехмерной решетке, по которому проходит ось
п или |
/Г с порядком я>1, называется особым. Такие направления |
обладают двумя важными свойствами: |
|
1) |
вдоль особого направления всегда проходит узловой ряд, |
2) |
перпендикулярно особому направлению всегда располага- |
ется узловая сетка.
Действительно, выберем на поворотной оси п начало координат (узел Ai) и рассмотрим произвольную трансляцию AiA2 (рис. 3.3.1). Размножив эту трансляцию действием оси, получим трансляции А\.А^ А^А^ ..., AiAn+i. Очевидно, что
сумма этих равных по длине и равнонаклонных по отношению к оси п векторов
есть |
трансляция, направленная вдольос |
и |
порождающая |
узловой рядПо. |
- |
||
скольку инверсионныеос 3 и 4 ,и б |
содержатв |
себе поворотныеос 3и 2 ,и 3со |
- |
|
|
||
ответственно, остается рассмотреть случай 2, т. е. установить, что в решетке всег- |
|||||||
да |
найдется узловой ряд,перпендикулярный |
плоскостиН . |
о |
всякая узпара |
- |
||
лов, |
связанных отражением |
в плоскости, дает |
трансляцию, которая |
перпендику- |
лярна к этой плоскости, а следовательно, и искомый узловой ряд. Итак, первое свойство особых направлений доказано.
106
Существование узловой сетки, перпендикулярной оси п с /О=3, вытекает из
доказательства теоремы3 |
предыдущего |
разделаДл. я |
анализа случая |
п =2об |
- |
|
ратимсяк |
рис. 3.3.2,а . |
Пустьос 2ь и |
произвольно |
выбранный узелA |
i |
лежатв |
плоскости чертежа, а Аз — какой-либо из узлов, не лежащих в плоскости чер-
тежа. Действиеос |
и2 |
порождает |
узлыиА2 |
иЛсо4 |
- |
||||||
ответственно |
трансляции |
А\А2 |
и Л3Л4, перпендику- |
|
|||||||
лярные |
этой оси; отложив ох |
т |
общего началако - |
|
|
||||||
ординат, можно построить искомую узловую сетку. |
- |
||||||||||
Ка икпр |
и |
доказательстве |
первого |
свойства,иинз |
|
||||||
версионных |
осей |
подлежит |
|
рассмотрению |
только |
|
|||||
2осьт ,е . . |
требуется |
доказать,чт |
о |
параллельно |
|
|
|
||||
плоскости т проходит некоторая узловая сетка. Вы- |
|
||||||||||
берем |
начало |
координат |
(узел |
|
AI) |
на плоскости |
т |
|
|||
(рис. 3.3.2,6). Рассмотрим две |
любые не лежащие |
в |
|
||||||||
плоскости m трансляции А\Аи 2 |
|
A\AZ. После отра- |
|
||||||||
жения в плоскости вектор А\А2 |
перейдет в A\A^t |
a |
|
||||||||
вектор |
А\А$ в— |
А\А$. |
Суммы |
связанных |
зеркаль- |
|
|||||
ным отражением |
векторов — это |
две |
трансляции, ле- |
|
|||||||
жащиев |
плоскостион ; и |
позволяют |
построить |
|
|
нужную узловую сетку.
Рис. 3.3.1. К доказательству существования узлового
ряда, проходящего вдоль особого направления
Рис 3.3.2К. доказательству существования узловой сетки, перпендикулярной особому направлению:^
а — случай оси 2? б — случай оси 2
Теперь |
обратимся |
непосредственнок |
кристаллографическим |
системам |
координат. |
Их выбирают в |
соответствии с правилами, |
которые приведены ниже. Базис такой системы составляет тройка некомпланарных векторова , сЬ, , представляющих собой кратчайшие трансляции по соответствующим осям. Совокупность векторов
а, Ь, с и противоположных им векторов —а, —Ь, —с образует
107
координатный крест *, который характеризуется шестью парамет-
рами; это отрезки а, Ь, с и три угла а = Ь, с, |
р = а, с, Y = a> Ь. Па- |
раллелепипед повторяемости, построенный а |
кратчайших транс- |
ляциях по кристаллографическим осям координат, т. е. на коор-
динатных векторах , сЬ, , называется |
элементарной ячейкойПа . |
- |
|||
раметры координатного креставт |
жо |
е время являются парамет- |
|||
рами ячейки. |
заключаетсяв |
чттом, |
о |
коор |
|
Существенное обстоятельство |
|||||
натные векторы а, Ь, с часто не являются базисными |
векторами |
||||
решетки; тогда элементарная ячейка |
оказывается |
непримитивным |
параллелепипедом повторяемостии содержит узлы решеткин е только в своих вершинах.
Кристаллографические оси координат выбирают в соответствии со следующими правилами.
1. Координатный крест должен быть инвариантен относитель-
но группы т/С, е. . |
всеми операциями этой группы должен преобра- |
||||||
зовыватьсяасв м |
себятЭ. о главноеи обязательное |
условие, |
обес- |
|
|
||
печивающее основные преимущества кристаллографических коор- |
|
||||||
динатных систем. |
|
к |
однозначному |
выбору |
|
||
2. Если первое правило не приводит |
- |
||||||
координатной |
системы, предпочтительным |
следует |
считатьто |
ват |
|||
риант,пр и которомос и координат проходят |
о |
особым |
направ- |
|
|||
лениям (при наличии таковых). |
|
однозначному |
|
||||
3. Еслижи е |
второе |
правилон е приводитк |
|
решению, оси координат выбирают так,чтобы элементарная ячейка имела минимальный объем (разумеется, при одновременном соблюдении предыдущих правил).
Опираясьн а сформулированные положения, рассмотримв д
координатного креста и соответственно элементарной ячейки для каждого из семи случаев симметрии решетки.
^В решетке, имеющей симметриюГ , особых направлений нет,и
любой узловойяр д может стать кристаллографической координатной осью. Любыетр и некомпланарные трансляции дают инвариантный крест. Единственное ограничение — минимальный объ-
ем элементарной ячейки, которая, следовательно, должна быть примитивной (рис.3.3.3). Такая координатная система называется
триклинной. Название связано тем,чт о углыа(3 , ,вv этом слу-
чае, вообще говоря, непрямые. Соответственно, решетка с симмет-
риейи ячейка, обычно представляющая соб
параллелепипед, тоже называются триклинными.
Если решетка имеет симметрию 2/т, координатный крест бу-
дет инвариантен в том и только том случае, когда одна из кристаллографических осей совмещена с единственным особым направле-
нием, т. е. с осью 2, а две другие расположены в перпендикулярной узловой сетке. Обычно с осью 2 совмещают координатную
Несколько иначе в
Зт-и 6/ттга. Подробней б этом сказано ниже.
108
осZь |
(илиос У)ь |
. Тогдан а параметры |
координатного |
креста |
(рис. |
3.3.4) |
накладывается условие |
а = (3 90= ° (или |
а ==у 90°). |
Требование минимума объема ячейки приводит к тому, что парал-
лелограмм, построенный а векторахи b (илиа и с) , должен
быть примитивным, но ячейка в целом, как будет показано в сле-
дующем |
разделе, |
может оказаться неиримитивной. Поскольку |
|
один из |
углов между |
осями, вообще говоря, непрямой, эта коор- |
|
динатная система |
(а |
также соответствующая ячейка и решетка |
|
с симметрией 2/m) |
называется моноклинной 1. |
(лоскость
Ри с |
333 |
Триклинная система |
|
коорди- |
Рис. |
3.3.4. |
Моноклинная |
системако |
- |
||||||
|
нат и триклинная |
ячейка |
|
|
ординат |
и моноклинная ячейка |
|||||||||
|
В решетке симметрии ттт присутствуют три особых направ- |
||||||||||||||
ления— |
взаимно |
перпендикулярныеос 2 и П .ни о |
им направляют |
координатный |
|||||||||||
кристаллографическиечтоси, |
о |
|
дает |
инвариантный |
|||||||||||
крестса |
= р = ? =90° |
(рис. |
3.3.5). Такая система координат |
назы- |
|
||||||||||
вается ортогональной12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решетка симметрии 4/ramm содержит пять особых направле- |
||||||||||||||
нийось 4 и четыре попарно эквивалентные оси 2 в перпендику- |
|||||||||||||||
лярной |
к ней плоскости |
(рис. |
1.3.3). Вдоль оси |
4 направляют |
ко- |
||||||||||
ординатнуюос ZВь . |
качестве осей |
А'иУ |
нужно |
выбратьт у пару |
- |
||||||||||
эквивалентных осей2 , которая обеспечивает примитивностьпа |
|||||||||||||||
райлелограмма, |
построенного а |
векторахи |
b |
(рис. |
3.По3.6). |
- |
|||||||||
скольку эти оси 2 связаны осью 4, параметры |
а и b равны, |
что |
|||||||||||||
в |
сочетаниис условием |
a^p^v^9 00 определяет |
форму |
элемен- |
|||||||||||
тарной ячейки. Координатная система называется тетрагональной. |
|||||||||||||||
|
Особая ситуация |
возникает |
решеткес |
симметрией Зт. Здесь |
|||||||||||
есть четыре особых |
направления:ос |
3ь и тр |
|
и |
перпендикулярные |
||||||||||
ен к й |
эквивалентныесо2 и |
(рис. |
|
1.3.7,6). Инвариантный коорди- |
|
||||||||||
натный крест можно получить лишь при видоизменении его стан- |
|||||||||||||||
дартной формы, |
причемв |
координатную |
систему войдут четыре |
* Заметим, что и в последующих случаях название координатной системы
переносится на соответствующие ей решетку и ячейку.
2 Эту координатную систему без достаточных оснований часто называют «ромбической».
оси (рис.3.3.7, а):УX, , |
(/,иZ, з |
|
которыхтр |
и первые |
направлены |
||
вдоль осей2а , |
последняя— |
вдольос 3 и . |
Однакодл я |
описания |
поэтому |
||
положения точкив |
пространстве |
достаточно |
трех осей; |
||||
ось U практически |
не используют, а элементарную ячейку строят, |
||||||
ак к обычно, а |
координатных осях |
X,У |
Z , . Параметры ячейки |
Рис. |
3.3 5. Ортогональная |
(ромбиче- |
Рис. 3.3.6. Тетрагональная система |
ская) |
система координат |
ортого- |
координат и тетрагональная ячей- |
|
нальная ячейка |
|
|
|
Рис. 3.37. Гексагональная система координат |
и гексагоняльпня ячейка- |
а |
— координатный крест, б — расположение ячеек в решетке (проекция ндоль |
|
|
Z оси |
) |
подчиняются |
условиям: |
а=р = 90°, у-120°, а =Ь. Эта координат- |
|||||||
ная |
система |
называется |
гексагональной. Название |
обусловлено |
|||||
тем,чт |
о |
в узловой |
сетке, |
параллельной |
плоскости |
XY, можновы - |
|||
делить |
систему |
правильных |
шестиугольников |
(гексагонов) |
|||||
(рис. 3.3.7,6). Модели кристаллических структур |
|
такой коорди- |
|||||||
натной |
системой удобно |
представлять |
в форме |
гексагональных |
|||||
призм |
(примерысвм |
разделе 3.5). |
|
|
|
|
110
Точно такаяж е система координат соответствует решетке
с симметрией б/mmm, в которой присутствует семь особых направлений: ось 6 и шесть перпендикулярных к ней осей 2, составляющих две тройки эквивалентных осей. Вдоль оси 6 направляют ко-
ординатнуюос |
ь Z;в |
качестве осей УX, |
, U |
выбирают |
однуи з |
троек осей |
второго |
порядка. Элементарная ячейка |
имеет ту же |
||
форму, что и для решетки симметрии Зт. |
инвариантный коорди- |
||||
Наконец,в |
решеткес симметрией |
m3m |
натный крест получается в том и только том случае, когда крис-
таллографическиео |
и |
совмещеныс |
тремя взаимно |
перпендику- |
|||||||||
лярными |
осями |
четвертогопо |
- |
^7 |
|
|
|
||||||
рядка (рис. 3.3.8). Посколькуэт и |
|
~ ь |
|
|
|||||||||
троси |
и4 |
|
эквивалентны |
(они свя- |
|
|
|
||||||
заны |
осями |
третьего |
порядка), |
|
, |
/ |
Xй |
||||||
ячейка |
имеет |
форму |
куба,т е . . |
|
№0° |
||||||||
«^p^Y^QO0 , |
a = b = c. |
Такая |
|
|
|||||||||
кристаллографическая |
|
система |
г |
&6 |
,1 |
||||||||
называется кубической. |
|
|
|
А—— -«— |
|||||||||
Таким образом, семи голоэд- |
|
|
|
|
|||||||||
рическим |
группам, описывающим |
|
|
|
|
||||||||
симметрию |
различных |
решеток, |
|
|
|
|
|||||||
отвечает шесть координатных си- |
|
|
|
|
|||||||||
стем, |
|
которые |
перечислены |
в |
|
|
|
|
|||||
табл7. . |
Отметим,чт дло |
я |
реше- |
|
|
|
|
|
|||||
ток с симметрией mmm, 3m, |
Рис. 3.3.8. Кубическая система коор- |
||||||||||||
4/mmm |
и |
m3m |
кристаллографи- |
динат кубическая ячейка |
ческая система координат выби-
рается однозначно. В решетке симметрии б/mmm возможны два эквивалентных способа выбора координатных осей. В решетках,
описываемых группами1 и |
|
2/т, кристаллографическиеос |
и коор- |
|||
динат можно выбрать многими способами. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7 |
|
|
|
Координатные системы кристаллов |
|
|||
Симметрия |
Условия, налагаемыен а |
параметры ячейки |
Название координатной системы |
|||
решетки |
(решетки, |
ячейки) |
||||
Г |
а = р = 90° |
— |
|
триклинная |
|
|
2/т |
|
|
моноклинная |
|
||
tntntn |
а р=== |
Y90= |
° |
|
ортогональная |
|
4/ mmm |
a =p = Y=90°, a=b |
тетрагональная |
|
|||
Зт |
\ а ^р^90°, |
у= |
120°, a =b |
гексагональная |
|
|
6/ттт |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
тЗт |
а =р= у= |
90° , a=^b ^c |
кубическая |
|
111
В следующем разделе нам потребуются данные о координат-
ных системах двумерных решеток (потребностьвин х вообще
возникает достаточно часто). Поэтому проведем аналогичный анализилд я двумерных группТ .
о- |
а |
-О |
о—
Рис. 3.3.9. Координатные системы и ячейки узловых сеток
Сначала рассмотрим симметрию узловых сеток. Здесь можно было ы воспользоваться двумерными точечными группами, однако, коль скоро они не фигурировали в нашем изложении, будем
по-прежнему пользоваться |
трехмерными группами, |
считая,чт |
о |
||
с узловой сеткой всегда совмещена плоскость . |
|
|
|||
Очевидно, что для двумерного пучка трансляций справедливы |
|||||
теоремы, сформулированные |
|
разделе 3.Н2. о еслив |
трехмерном |
||
случае эти |
теоремы приводят |
к семи голоэдрическим точечным |
|||
группам, |
то применительно |
к |
двумерным узловым |
сеткам |
неко- |
торые из этих групп следует исключить. Прежде всего нужно от-
бросить группу 1^ как не содержащую плоскости т. Кроме тогог отпадает группа Зт. Действительно, ось 3 может быть ориентиро-
вана только перпендикулярно узловой сеткеН. во группене3/п т
плоскости т, перпендикулярной оси 3. Очевидно, что к узловой
сетке неприменима |
и группа гаЗт. Таким |
образом, |
симметрия |
||
двумерной |
решетки |
описывается |
только |
группами |
2/т, тгага, |
А/ттт и 6/ттт (голоэдрические |
группы |
/С для двумерного слу- |
|||
чая) . |
выберем |
двумерных |
решетках кристаллографические |
||
Теперь |
координатные системы подобно тому, как это было сделано для
112