§2. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Вероятность события. Теоремы сложения и умножения вероятностей Случайные события

Определение 1. Испытанием (или опытом) называется осуществление некоторой совокупности определённых условий.

Определение 2. Событием называется любой результат испытания.

Определение 3. Событие называется случайным (обозначается прописными латинскими буквами: А, В, С, …, А₁, А₂, А₃…), если в данном испытании оно может или произойти, или не произойти.

Определение 4. Событие называется достоверным (обозначается Е), если в данном испытании оно обязательно произойдёт.

Определение 5. Событие называется невозможным (обозначается), если в данном испытании оно никогда не произойдёт.

Определение 6. События называются несовместными в данном испытании, если они не могут наступить одновременно. В противном случае события называются совместными.

Определение 7. Событие В называется независимым от события А, если наступление события А не влияет на наступление или ненаступление события В. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Определение 8. События называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем остальные.

Определение 9. Говорят, что события А₁, А₂, … , А_n образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно наступает хотя бы одно из них.

Определение 10. Говорят, что события А₁, А₂, … , А_n образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий, если в данном испытании события А₁, А₂, … , А_n являются равновозможными и любые два из них – несовместные. Такие события будут называться элементарными событиями (или случаями, исходами).

Определение 11. Элементарное событие называется благоприятствующим событию А , если его наступление влечёт за собой наступление события А.

Определение 12. Событие, обозначаемое Ā, называется противоположным событием по отношению к событию А, если наступление одного из них в результате данного испытания исключает наступление другого.

Алгебра событий

Определение 13. Суммой (или объединением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое А+В, которое состоит в наступлении хотя бы

одного из событий А или В.

Определение 14. Произведением (или совмещением) событий А и В называется такое событие, обозначаемое А∙В, которое состоит в одновременном наступлении и события А, и события В.

Замечание 1. Если события А₁, А₂, … , А_n образуют полную группу попарно несовместных событий, то справедливы равенства:

А₁ +А₂+ … +А_n = Е,

А_i ∙ А_j= (i ≠ j).

Замечание 2. Поскольку события А и Ā образуют полную группу и несовместны, для них справедливы равенства:

А + Ā = Е,

А ∙ Ā = .

Вероятность события

Пусть для данного испытания события А₁, А₂, … , А_n образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий (являются элементарными событиями).

Определение 15. Вероятностью случайного события А в данном испытании называется число, обозначаемое Р(А) и вычисляемое по формуле:

Р(А) = , (1)

где n – число всех возможных элементарных событий рассматриваемого испытания; m – число благоприятствующих событию А.

Замечание 3. Ситуация, когда полную группу составляют равновозможные события, называется классической. Поэтому определение вероятности (1), опирающееся на такое условие, называется классическим определением вероятности.

Замечание 4. Нетрудно видеть, что в формуле (1) числа m, n связаны неравенствами:

0 ≤ m ≤ n.

Поэтому вероятность любого события А удовлетворяет неравенству:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Причём, если А = Е – достоверное событие, то m = n и Р(Е) = 1; если А = – невозможное событие, тоm = 0 и Р ()= 0.