
- •Дифференциальные уравнения.
- •§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
- •§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
- •§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 8. Уравнение Бернулли.
- •§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •Доказательство.
- •§ 10. Интегрирующий множитель.
§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
Уравнение
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
называется
обобщенным однородным, если удается
подобрать такое число k,
что левая часть этого уравнения становится
однородной функцией некоторой степени
m
относительно
x,
y,
dx
и dy
при условии,
что x
считается
величиной первого измерения, y
– k‑го
измерения,
dx
и dy
– соответственно
нулевого и (k-1)-го
измерений. Например, таким будет уравнение
.
(6.1)
Действительно при сделанном предположении относительно измерений
x,
y,
dx
и dy
члены левой
части
иdy
будут иметь
соответственно измерения -2, 2k
и k-1.
Приравнивая их, получаем условие,
которому должно удовлетворять искомое
число k:
-2 = 2k
=
k-1.
Это условие выполняется при k
= -1 (при таком
k
все члены левой части рассматриваемого
уравнения будут иметь измерение -2).
Следовательно, уравнение (6.1) является
обобщенным однородным.
Обобщенное
однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными
с помощью подстановки
,
гдеz
– новая неизвестная функция. Проинтегрируем
указанным методом уравнение (6.1). Так
как k
= -1, то
,
после чего получаем уравнение
.
Интегрируя его,
находим
,
откуда
.
Это общее решение уравнения (6.1).
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид:
,
(7.1)
где P(x)
и
Q(x)
– заданные непрерывные функции от x.
Если функция
,
то уравнение
(7.1) имеет вид:
(7.2)
и называется
линейным однородным уравнением, в
противном случае
оно называется линейным неоднородным
уравнением.
Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными:
(7.3)
Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(x) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(x) так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим:
.
Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь:
или
.
Откуда
,
где
-
произвольная постоянная. В результате
общее решение неоднородного линейного
уравнения (7.1) будет
(7.4)
Первое слагаемое
в этой формуле представляет общее
решение (7.3) линейного однородного
дифференциального уравнения (7.2), а
второе слагаемое формулы (7.4) есть частное
решение линейного неоднородного
уравнения (7.1), полученное из общего
(7.4) при
.
Этот важный вывод выделим в виде теоремы.
Теорема.
Если известно одно частное решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения
,
то все остальные решения имеют вид
,
где
- общее решение соответствующего
линейного однородного дифференциального
уравнения.
Однако надо
отметить, что для решения линейного
неоднородного дифференциального
уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется
другой метод, иногда называемый методом
Бернулли. Будем искать решение уравнения
(7.1) в виде
.
Тогда
.
Подставим найденную производную в
исходное уравнение:
.
Объединим, например,
второе и третье слагаемые последнего
выражения и вынесем функцию u(x)
за скобку:
(7.5)
Потребуем обращения
в нуль круглой скобки:
.
Решим это уравнение,
полагая произвольную постоянную C
равной нулю:
.
С найденной функциейv(x)
вернемся в уравнение (7.5):
.
Решая его, получим:
.
Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид:
.