- •Дифференциальные уравнения.
- •§ 1. Основные понятия об обыкновенных дифференциальных уравнениях.
- •§ 2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка – основные понятия.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
- •§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
- •§ 6. Обобщенное однородное уравнение.
- •§ 7. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •§ 8. Уравнение Бернулли.
- •§ 9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.
- •Доказательство.
- •§ 10. Интегрирующий множитель.
§ 3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.
Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида (3.1)
или уравнение вида (3.2)
Для того, чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, т.е. привести это уравнение к так называемому уравнению с разделенными переменными, произвести следующие действия:
;
Теперь надо решить уравнение g(y)= 0. Если оно имеет вещественное решение y=a, то y=a тоже будет решением уравнения (3.1).
Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделенными переменными делением на произведение :
, что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2): . (3.3)
Интегральные кривые (3.3) будут дополнены решениями , если такие решения существуют.
Пример.
Решить уравнение: .
Решение.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получаем
Далее из уравнений инаходимx=1, y=-1. Эти решения – частные решения.
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Определение 1. Уравнение 1-го порядка называется однородным, если для его правой части при любыхсправедливо соотношение, называемое условием однородности функции двух переменных нулевого измерения.
Пример 1. Показать, что функция - однородная нулевого измерения.
Решение.
,
что и требовалось доказать.
Теорема. Любая функция - однородна и, наоборот, любая однородная функциянулевого измерения приводится к виду.
Доказательство.
Первое утверждение теоремы очевидно, т.к. . Докажем второе утверждение. Положим, тогда для однородной функции, что и требовалось доказать.
Определение 2. Уравнение (4.1)
в котором M и N – однородные функции одной и той же степени, т.е. обладают свойством при всех, называется однородным.
Очевидно, что это уравнение всегда может быть приведено к виду (4.2) , хотя для его решения можно этого и не делать.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены искомой функции y по формуле y=zx, где z(x) – новая искомая функция. Выполнив эту подстановку в уравнении (4.2), получим: илиили.
Интегрируя, получаем общий интеграл уравнения относительно функции z(x) , который после повторной заменыдает общий интеграл исходного уравнения. Кроме того, если- корни уравнения, то функции- решения однородного заданного уравнения. Если же, то уравнение (4.2) принимает вид
и становится уравнением с разделяющимися переменными. Его решениями являются полупрямые: .
Замечание. Иногда целесообразно вместо указанной выше подстановки использовать подстановку x=zy.
§ 5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.
Рассмотрим уравнение вида . (5.1)
Если , то это уравнение с помощью подстановки, гдеи- новые переменные, аи- некоторые постоянные числа, определяемые из системы
Приводится к однородному уравнению
Если , то уравнение (5.1) принимает вид
.
Полагая z=ax+by, приходим к уравнению, не содержащему независимой переменной.
Рассмотрим примеры.
Пример 1.
Проинтегрировать уравнение
и выделить интегральную кривую, проходящую через точки: а) (2;2); б) (1;-1).
Решение.
Положим y=zx. Тогда dy=xdz+zdx и
.
Сократим на и соберем члены приdx и dz:
.
Разделим переменные: .
Интегрируя, получим ;
или ,.
Заменив здесь z на , получим общий интеграл заданного уравнения в виде (5.2)или.
Это семейство окружностей , центры которых лежат на прямойy = x и которые в начале координат касаются прямой y + x = 0. Эта прямая y = -x в свою очередь частное решение уравнения.
Теперь режим задачи Коши:
А) полагая в общем интеграле x=2, y=2, находим С=2, поэтому искомым решением будет .
Б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку (1;-1). Зато полупрямая y = -x, проходит через точку и дает искомое решение.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение.
Уравнение является частным случаем уравнения (5.1).
Определитель в данном примере, поэтому надо решить следующую систему
Решая, получим, что . Выполняя в заданном уравнении подстановку, получаем однородное уравнение. Интегрируя его при помощи подстановки, находим.
Возвращаясь к старым переменным x и y по формулам , имеем.