§ 4. Лос ду с постоянными коэффициентами.

Эта система имеет вид

(4.1)

где - постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений (4.1) является метод Эйлера. Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ ищется в виде

Дифференцируем обе функции по x и подставляем в (4.1):

Сокращаем оба уравнения системы на :

(4.2)

Так как - некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2) должен быть равен нулю

(4.3)

Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.

1. Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: . Подставляем в одно из уравнений системы (4.2), например, в первое уравнение: Из него с точностью до константы определяем , откуда получаем первое решение ЛОС ДУ: . То же самое проделываем со вторым корнем характеристического уравнения и в результате получаем второе, линейно независимое на , решение ЛОС ДУ: . Следовательно, согласно теореме 2 §3 общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:

.

2. Если - корень характеристического уравнения, то . Подставляем в одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем . Теперь можно составить первое решение системы (4.1):

.

Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню a+ib. Решения, соответствующие корню a-ib, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими крню a+ib.

Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае имеет вид:

.

3.

В случае кратного корня характеристического уравнения предлагается представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде: , где - постоянные числа, причем и должны быть выражены через и . Рассмотрим поясняющий пример.

Пример. Найти общее решение системы:

Решение

. Характеристическое уравнение:.

Его корни: . Следовательно .

Продифференцируем y(x) и подставим в первое уравнение исходной системы: .

Откуда после сокращения на получаем

Приравняем в этом тождестве множители при одинаковых степенях x . В результате получим: . Итак, общее решение заданной системы уравнений имеет вид:

где и - произвольные постоянные.

§ 5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (лнс ду).

Определение 1. ЛНС ДУ называется система уравнений следующего вида

(5.1)

где - заданные непрерывные на интервале (a,b) функции.

Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения системы (5.1):

Доказательство.

1. Прежде всего докажем, что (5.2) является решением ЛНС ДУ (5.1). Для этого, подставим выражение (5.2) в (5.1) и покажем, что в результате получим тождество.

т.е. имеем .

Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).

2. Во втором разделе доказательства докажем, что выражение (5.2) дает общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям (5.3).

Согласно теореме 2 § 3 выражение (5.2) можно переписать в виде:

(5.4)

где и образуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в (5.4) начальные условия:

Или

(5.5)

Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского

Но согласно теореме 1 § 3 он не равен нулю , следовательно, система уравнений (5.5) имеет решение и притом единственное: .

Теорема доказана.