тмм

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Для определения скорости VD , т.е. опять внутреннего шарнира груп-

пы, следует написать:

Линия действия VDC проходит перпендикулярно шарниру DC,а линия

действия VD – параллельна оси поступательной пары (т.е. вертикальна).

Точка пересечения указанных линий и есть конец вектора VD :VD Vd KV .

Помимо линейных скоростей точек звеньев важно также найти и уг-

ловые скорости звеньев, совершающих вращательное или сложное плоское движение. Так, например, угловая скорость звена 2, т.е. 2 , может быть по-

лучена из величины скорости точки В вокруг А (VBA ). Последняя изобража-

ется на плане скоростей отрезком с направлением от точки a к точке b. Сле-

довательно:

Аналогично можно было бы определить

3 Vbl KV ,

BO2

4 c d KV ,

lCD

причем направление последней, как следует из уравнения (3), соответствует

направлению VDC (т.е. на плане скоростей от c к d). План скоростей постро-

40

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

ен. В качестве весьма важного вывода сейчас можно сформулировать так на-

зываемое свойство подобия.

4.2. Свойство подобия

Нетрудно видеть, что полученный на плане скоростей Δabc подобен

ΔABC, поскольку построение Δabc было таким, что стороны этого треуголь-

ника перпендикулярны соответствующим сторонам ΔABC. Таким образом,

свойство подобия заключается в следующем: концы векторов скоростей то-

чек, принадлежащих одному и тому же звену, образуют на плане скоростей фигуру, подобную очертаниям данного звена.

Практически использование этого свойства чрезвычайно удобно, т.к.

открывается возможность самым простым путем найти скорости любых про-

межуточных точек звеньев.

Так, если задана точка Е на стороне АВ звена 2, то конец вектора ско-

AE ae

рости VE отыщется сразу же по подобию AB ab (рис. 4.3). Можно поэто-

му сделать заключение о том, что отрезок ab есть план скоростей звена AB,

как и отрезок, например Vb есть план скоростей всего звена BO2 (на рис. 4.3

показан вектор скорости VF некоторой точки F). Для нахождения скорости

VC вообще можно было бы не составлять уравнение (2), а сразу же постро-

ить на стороне ab треугольник abc, подобный ΔABC.

В дальнейшем свойством подобия будем неоднократно пользоваться.

Укажем на одну часто встречающуюся ошибку при практическом использо-

вании свойства подобия. Последнее применимо только к одному и тому же звену, а не сразу к разным звеньям: ΔACD совсем не должен быть подобен

Δacd и точку нельзя строить по подобию.

41

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

4.3. Планы ускорений механизмов без кулис

Последовательность построения плана ускорений остается той же: от ведущего звена, по группам Ассура в порядке их присоединения.

Ведущее звено 1 (рис. 4.1) совершает вращательное движение. Уско-

рение точки А состоит из двух составляющих (aA aAn aA ):

а) нормальное ускорение

С направлением перпендикулярным aAn и в соответствии с направле-

d

нием углового ускорения dt .

Поскольку в данном случае ω=const, то ε=0, и полное ускорение точки

А равно только нормальному aAn

Не следует, конечно, думать, что и другие вращающиеся звенья меха-

низма не имеют угловых ускорений. Так, звено 3 наверное имеет и нормаль-

ное и касательное ускорения. Это же относится и к любому звену, совер-

шающему сложное плоское движение: его “вращательная часть” заведомо имеет обе компоненты ускорения.

42

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Выбрав полюс плана ускорений a (рис. 4.4) и подходящий мас-

или же, поскольку ускорение во вращательном движении В вокруг А должно состоять из нормального и касательного:

aB aA aABn aAB . (7)

Здесь вектор aA полностью известен, вектор aABn тоже всегда может быть посчитан (по модулю), а направление его на звене – от точки В к А – как к центру вращения. Вектор aAB известен по линии действия, которая всегда перпендикулярна aABn .

Напомним, что

Что касается результирующего вектора aB в уравнении (7), то поскольку точка В принадлежит и звену 3, то

43

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

с направлением от точки В к точке O2 , а линия действия aB перпендику-

лярна aBn .

Рис. 4.4

На плане ускорений (рис. 4.4) показано совместное решение уравне-

ний (7) и (9). Так, отрезок ak изображает ускорение aABn и перпендикулярно

ему проведена линия действия aB . Заметим, что в соответствии с уравнени-

жающий нормальное ускорение точки В построен, а перпендикулярно к нему

44

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

проведена линия действия ускорения aB . Пересечение линий действия век-

торов aB и aBA дает точку b, т.е. конец полного ускорения aB . Модуль это-

го ускорения легко подсчитывается aB ab Ka .

Теперь можно, пользуясь свойством подобия, найти точку С, т.е. ко-

нец ускорения aC . Построенный на стороне ab треугольник abc, должен быть не только подобным ΔABC, но и отличаться от него последовательно-

стью “обхода вершин”.

В группе Ассура 4х5 внутренний шарнир D имеет ускорение:

В этом уравнении полностью известны два вектора, известны ли-

нии действия aDC (перпендикулярно DC) и aD - по оси поступательной па-

ры.

Модуль вектора aDCn подсчитывается по формуле, аналогичной

(8), а направление aDCn - от точки D к точке С, как к центру вращения звена.

На плане ускорений отрезок cm изображает вектор aDCn . Точка d

(как конец вектора a0 ) получена на пересечении линий действия векторов

a0 и aDC .

Определение ускорений любых точек звеньев по свойству подо-

бия столь же просто, как и в случае скоростей. Так, ускорение точки Е нахо-

дится сразу же в виде отрезка we.

Нетрудно найти и угловые ускорения звеньев, совершающих вращательное или сложное плоское движение. Для этой цели следует вос-

45

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

пользоваться касательными составляющими соответствующих ускорений.

Угловое ускорение звена 2:

а угловое ускорение звена 3:

4.4. Планы скоростей для кулисных механизмов

Построение планов скоростей и ускорений для механизмов с кулиса-

ми имеет свои особенности и требует использования еще одной теоремы тео-

ретической механики.

Кулисой вообще называют подвижную направляющую поступатель-

ной кинематической пары. На схеме механизма (рис. 4.5) кулисой служит вращающийся стержень 3, по которому движется ползун (или “камень”) –

звено 2. Кулисы могут совершать и возвратно – поступательное движение.

46

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис. 4.5

При наличии кулисного устройства в механизме мы встречаемся со сложным движением ползуна-камня: относительным – т.е. движением камня по кулисе и переносным – т.е. движением камня вместе с кулисой (как одно целое). В совокупности оба движения составляют абсолютное движение кам-

ня.

Переносное движение есть движение кулисы и для последней оно яв-

ляется в то же время ее абсолютным движением.

Таким образом, помимо указанной ранее теоремы о разложении сложного плоского движения звена на поступательное и вращательное, в

случае кулисных механизмов используется еще теорема об относительном движении: абсолютная скорость есть векторная сумма переносного, относи-

тельного и кориолисова ускорений.

Рассмотрим построение плана скоростей для механизма, изображен-

ного на рис. 4.5.

Структурный анализ механизма приводит к формуле: 6х1-2х3-4х5.

47

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Ведущее звено 1 совершает вращательное движение (пусть ω=const).

Точка А независимо от характера относительного движения камня - совер-

шает вращение вокруг O1 . Это – абсолютное движение точки А:

VA lO1A

с направлением, перпендикулярным O1A и в соответствии с угловой

скоростью ω. На плане скоростей абсолютная скорость VA изображается от-

резком va (рис. 4.6). Переходя к группе 2х3, воспользуемся теоремой об от-

носительном движении:

где VAe -переносная, а VAr -относительная скорости точки А.

Уравнение (11) можно написать в таком виде:

поскольку переносная скорость точки А, т.е. VAe , есть в то же время скорость

точки А кулисы (звена 3), а относительная скорость VAr , есть скорость точки А камня (звена 2)по отношению к кулисе, т.е. к звену 3.

48

НАУЧНО-ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЦЕНТР САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА РАСТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРОВ

Рис. 4.6

В уравнении (12) вектор абсолютной скорости VA полностью извес-

тен, вектор переносной скорости VAe VA3 известен по линии действия (пер-

пендикулярной кулисе 3), вектор относительной скорости VAr VA2 A3 извес-

тен тоже по линии действия – вдоль стержня кулисы.

На плане скоростей (рис. 4.6) показано разложение абсолютной ско-

рости на переносную и относительную. В относительном движении камень 2

движется по кулисе к точке O2 в данном положении механизма.

Скорость точки В определяется по подобию. Здесь надо воспользо-

ваться переносной скоростью, т.к. последняя есть скорость точки a3, т.е.

точки А кулисы, но и точка В есть тоже точка кулисы.

Соотношение подобия очевидно:

Vb O2B .

Va3 O2B

Затем обычным путем переходим к группе 4х5.

VC VB VCB .

49