Преобразование по закону дуальности (см. Табл. 1.1) над уравнением мднф (1.9) выполняется в следующей последовательности:

• двойная инверсия исходного уравнения МДНФ, соответствует (1.11а);

• преобразование по закону дуальности, соответствует (1.11б);

• преобразование при помощи операций Шеффера, для формы МДНФ (см. табл. 1.2) соответствует (1.11в).

Реализация преобразования по закону дуальности:

; (1.11а)

; (1.11б)

. (1.11в)

После преобразований (1.11) сложность уравнения равна сложности уравнения МДНФ (1.6д и 1.8), но изменилась форма представления уравнения.

Факторизация  алгебраическое действие вынесения за скобку общего аргумента из импликант уравнения МДНФ или ДНФ.

Функция, полученная в результате операции факторизации, называется скобочной формой (СФ) логической функции. При выполнении операции факторизации над уравнением (1.6д) формируется СФ:

(1.12)

Полученная МДНФ логической функции, приведённой в табл. 1.4, имеет сложность {F} = 11. После выполнения операции факторизации сложность уравнения МДНФ (1.6д) уменьшилась до {F} = 9, и при этом данное уравнение остаётся эквивалентным уравнению (1.6а). После выполнения операции факторизации в некоторых уравнениях МДНФ или ДНФ сложность уравнения не меняется.

Вывод. Уравнения МДНФ, полученные при помощи графического (1.9) и математического (1.6д) способов преобразования логической функции, являются идентичными, что позволяет считать два способа преобразования эквивалентными.

Выполняя математические преобразования минимального уравнения логической функции, можно получить другую форму его представления, например скобочную, и в общем случае понизить его сложность.

3. логические базисы

Логический базис  набор простейших логических функций, при помощи которых можно представить логическую функцию произвольной сложности.

Логический базис, содержащий все функции двух аргументов, представленные в табл. 1.2, называется функционально полным. Функционально полный логический базис является избыточным при реализации логических функций, следовательно, из него можно удалить логические функции, являющиеся дублирующими.

Минимальным логическим базисом называется набор логических функций, при удалении из которого одной из функций становится невозможно представить логическую функцию произвольной сложности.

Логическая функция произвольной сложности отображается уравнением СДНФ, где каждый минтерм представляется простейшими логическими функциями И и НЕ, а минтермы объединяются простейшей логической функцией ИЛИ, следовательно, набор простейших логических функций НЕ, И, ИЛИ составляет базис.

Базис НЕ, И, ИЛИ не является минимальным, так как исключение одной из функций (И либо ИЛИ) позволяет представить логическую функцию произвольной сложности. В качестве доказательства избыточности базиса представляются операции инверсии, дизъюнкции и конъюнкции при помощи операции Шеффера:

; (1.13)

; (1.14)

. (1.13)

Вывод. Логическая функция произвольной сложности представляется при помощи минимального базиса, состоящего из одной простейшей операции Шеффера, следовательно, по закону дуальности операция Вебба представляет отдельный минимальный базис.

Контрольные вопросы и упражнения

1. Докажите справедливость основных законов языка булевых функций, приведённых в табл. 1.1.

2. Приведите таблицу истинности функций одной переменной.

3. Вычислите количество функций для трёх, четырех и пяти переменных. Проанализируйте полученные результаты.

4. Сформируйте совершенные формы для функций F₇…F₁₄ (табл. 1.2).

5. Сформируйте карты Карно для пяти и шести аргументов.

6. Сформируйте математическим и графическим способами МДНФ для функции

.

Вычислите сложность логической функции и коэффициент покрытия.

7. Выполните преобразование по закону дуальности минимального уравнения, полученного в п. 6.

8. Сформируйте СФ минимального уравнения, полученного в п. 6.

9. Поясните результаты преобразований пп. 6, 7 и 8.

10. Докажите, что совместно функции импликации и константы ноля образуют минимальный базис.

11. Приведите примеры других минимальных базисов.

24