Минтермы, макстермы и значения функции f6

Аргументы		Индекс	Минтерм	Макстерм	Значение функции
A	B
0	0	0			f0 = 0
0	1	1			f1 = 1
1	0	2			f2 = 1
1	1	3			f3 = 0

На основании табл. 1.3 алгебраическое представление функции F₆ можно привести в виде

(1.1)

Используя (1.1), можно представить общий вид функции произвольной сложности, где результат является дизъюнкцией минтермов:

(1.2)

где   логическое сложение; f_i  значение функции; m_i  минтерм, соответствующий i-му набору переменных; k  количество минтермов.

Функция, созданная при помощи условия (1.2), содержит минтермы, объединённые знаком дизъюнкции, следовательно, данная функция представляется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).

Аналогичным образом можно выполнить переход от табличной к алгебраической форме функции F₆, если каждому сочетанию аргументов поставить в соответствие макстерм.

Значения макстермов для функции F₆, соответствующие i-му набору переменных, обозначены M_i и приведены в табл. 1.3, а алгебраическое представление функции имеет вид

. (1.3)

Используя (1.3), можно представить общий вид функции произвольной сложности, где результат является конъюнкцией макстермов:

(1.4)

где П  логическое произведение; f_i  значение функции; M_i  макстерм, соответствующий i-му набору переменных; k  количество макстермов.

Функция, созданная по условию (1.3), содержит макстермы, объе-динённые знаком конъюнкции, следовательно, данная функция представляется в дискретной математике как совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ).

Функция в виде СДНФ (СКНФ) характеризуется как:

• совершенная  функция содержит исключительно минтермы либо макстермы (каждое слагаемое для СДНФ (сомножитель для СКНФ) содержит все аргументы представляемой функции в прямом либо инверсном виде);

• дизъюнктивная (конъюнктивная)  все минтермы (макстермы) объединяются знаком дизъюнкции (конъюнкции);

• нормальная  знак инверсии воздействует на один аргумент минтерма (макстерма) (функция не содержит двух либо более аргументов, объединённых одним знаком инверсии);

• форма  представление функции в области языка булевых функций.

Число минтермов и макстермов для одной и той же функции определяется количествами значений, соответственно f_i = 1 и f_i = 0.

Сравнивая результаты (1.1) и (1.3), представляющие функцию F₆ соответственно в виде СДНФ и СКНФ, можно ещё раз убедиться в справедливости закона дуальности.

Выражения (1.1) и (1.3) отображают полную форму представления функции. Более рационально использовать сокращённую форму представления функции в виде СДНФ и СКНФ, где фигурируют только минтермы либо макстермы, входящие в функцию,

F =  (p₁,…, p_m) = П (z₁,…, z_h), (1.5)

где   логическое сложение; p₁,…, p_m  минтермы соответствующие значениям функции f_i =1; П  логическое произведение; z₁,…, z_h  макстермы, соответствующие значениям функции f_i =0.

Графический способ является наглядным, используется при небольшом количестве аргументов n  6…8 и отображается в виде карт минтермов либо макстермов, одна из форм представления которых  карты Карно  является наиболее распространённой.

Карты Карно формируются по правилам:

• количество клеток карты N = 2 ⁿ, где n  количество аргументов;

• соседние минтермы как по столбцу, так и по строке отличаются инверсией одного аргумента;

• набор логических переменных клетки соответствует одному из минтермов либо макстермов;

• каждый набор логических переменных входит в карту один раз.

Всоответствии с изложенными выше правилами на рис. 1.1 показаны карты Карно для двух, трех и четырех аргументов.

Формирование карт Карно, как показано на рис. 1.1, выполняется клонированием карты двух аргументов, выделенной утолщенными линиями, с последующим добавлением аргумента с более высоким весовым коэффициентом. Весовой коэффициент каждого аргумента показан рядом с фигурной скобкой, которая определяет влияние данного аргумента на строку либо столбец карты Карно. Каждой клетке карты поставлен в однозначное соответствие один из существующих минтермов, набор переменных которого определяется суммой весовых коэффициентов аргументов, воздействующих на данную клетку. Десятичное число в правом углу каждой клетки указывает её порядковый номер, совпадающий с весовым коэффициентом и набором переменных.

Карта Карно (рис. 1.1) содержит все минтермы функции заданного количества аргументов, следовательно, на ней можно представить функцию произвольного количества аргументов.

Вывод. Существует три эквивалентных способа представления логических функций произвольной сложности. Графический и табличный способы представления функции являются более наглядными и используются для её ручной обработки при небольшом количестве аргументов, а алгебраический  при неограниченном количестве аргументов для автоматизированной обработки функции.

2. преобразование логических функций

На основании эквивалентности уравнений булевой алгебры для произвольной логической функции существует множество её эквивалентных представлений, при этом эквивалентные представления могут как упростить, так и усложнить функцию. Математическое упрощение логической функции приводит к уменьшению количества элементов при схемотехнической реализации, что, в свою очередь, приводит к качественному улучшению работы синтезируемого устройства. Качество математического преобразования функции определяется параметром сложности.

Сложность логической функции ({F}) позволяет сравнить логические функции до и после их математического преобразования и определяется подсчетом количества аргументов, входящих в алгебраическое выражение и в прямом, и инверсном виде. Большинство преобразований логических выражений направлено на уменьшение их сложности. Для понижения сложности логической функции используются операции склеивания и поглощения (см. табл. 1.1). Процедура уменьшения сложности логической функции называется минимизацией, а логическое выражение, имеющее наименьшую сложность, называется минимальным, при этом минимальное уравнение является эквивалентным исходному, совершенному.

Существует два принципиально отличных способа, позволяющих получить эквивалентные минимальные уравнения для реализации функции при помощи интегральных микросхем, а именно: математический и графический.

Дальнейшее пояснение математических и графических преобразований над логическими функциями выполняется для произвольной функции, проведённой в табл. 1.4. В табл. 1.2 указаны элементарные функции двух переменных, следовательно, они обозначаются буквой F, а в табл. 1.4 указана произвольная функция четырех аргументов, следовательно, она обозначена буквой Y.

Таблица 1.4