Логическая функция четырёх аргументов
|
Аргументы (A, B, C, D) и функция (Y) |
Весовой коэффициент |
Сочетания аргументов и соответствующие им значения функции | |||||||||||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 | ||
|
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
B |
2 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
C |
4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
D |
8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Y (A, B, C, D) |
16 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Математический способ преобразования логической функции используется для функции произвольной сложности, у которой нет ограничения как по числу аргументов, так и по числу минтермов (макстермов), а сами преобразования легко реализуются программно.
Исходным уравнением для выполнения преобразований математическим способом является уравнение в совершенной форме, например в СДНФ (1.1) или в СКНФ (1.3). Конечным результатом преобразований является уравнение в минимальной форме.
Последовательность выполнения математического преобразования:
сформировать уравнение СДНФ (СКНФ), являющееся исходным для ручного либо программного преобразования, соответствует (1.6а);
выполнить операции склеивания минтермов (макстермов), соответствует (1.6б);
сформировать уравнение ДНФ (КНФ), соответствует (1.6в);
повторить операции склеивания до появления простых импликант, соответствует (1.6д).
Реализация процедуры математического преобразования логической функции, приведённой в табл. 1.4, имеет вид
(1.6а)
(1.6б)
(1.6в)
(1.6г)
(1.6д)
Исходное уравнение (1.6а) имеет сложность {F} = 44. После выполнения первого этапа операций склеивания (1.6в) сложность логической функции понизилась до {F} = 24, а уравнение из совершенной формы (СДНФ) превратилось в дизъюнктивную (ДНФ), где минтермы являются импликантами. После выполнения второго этапа операций склеивания (1.6г) сложность логической функции понизилась до {F} = 11, а уравнение (1.6д) стало уравнением наименьшей сложности, т.е. оно является минимальным.
Минимальным уравнением дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ) называется уравнение, сформированное из простых импликант, над которыми невозможно выполнять операцию склеивания.
Импликанты конъюнктивные члены уравнения ДНФ или МДНФ (дизъюнктивные члены уравнения КНФ или МКНФ), в которые входят не все аргументы функции в прямом или инверсном виде. Если импликанта содержит все аргументы логического уравнения, она называется минтермом (макстермом).
Графический способ преобразования логической функции является наглядным и преимущественно используется для ручного способа формирования минимального уравнения. Исходные данные для графического способа отображаются в таблице истинности, а конечным результатом их преобразований является уравнение минимальной формы, что для n аргументов достигается выполнением последовательности действий:
изобразить карту Карно, у которой количество клеток кратно 2 n;
внести, для большей наглядности, в соответствующие клетки карты, например минтермы, значения которых подлежат объединению (минтермы, равные единичным значениям функции), при этом минтермы, равные нулевым значениям функции, в карту можно не вносить;
объединить соседние клетки, заполненные единицами, по строке и/или столбцу, соблюдая следующие правила:
объединяются клетки в количестве, кратном 2 n, что соответствует двум, четырём, восьми и т.д. клеткам;
объединённые клетки с единицами должны представлять прямоугольную либо квадратную форму;
объединяются клетки верхней и нижней строк, крайнего левого и правого столбцов карты;
каждая клетка может входить в произвольное количество объединений при условии, что каждое новое объединение содержит хотя бы одну клетку, до этого не входящую в другие объединения;
совокупное количество взаимно инверсных аргументов всех минтермов, входящих в выделенную область, должно быть одинаковым;
объединяемая область должна включать наибольшее число минтермов (макстермов) из возможных;
сформировать, по возможности, несколько вариантов объединений;
выбрать наименьший коэффициент покрытия;
сформировать отдельную импликанту для каждого объединения, где указать клеточки, входящие в данную объединённую область;
сформировать минимальное уравнение, используя импликанты.
Логическая функция, приведённая в табл. 1.4, внесена для преобразований (минимизации) в карту Карно, как показано на рис. 1.2.
Как следует из условий объединения, карта Карно, представленная на рис. 1.2,б, содержит пять областей.
Клетки 9 и 13, у которых один взаимно инверсный аргумент С, могут объединяться. По правилам заполнения карт Карно минтермы двух соседних клеток по вертикали или по горизонтали отличаются взаимно инверсным значением только одного аргумента, следовательно, дизъюнкция этих минтермов дает одну импликанту, в которой исключён аргумент, имеющий взаимно инверсные значения. На основании клеток 9 и 13 сформирована первая импликанта
,
(1.7)
где
Y1
порядковый номер импликанты в минимальном
уравнении; {9;13}
номера клеток карты Карно, импликанты
которых входят в минимальное уравнение;
импликанта;
и
минтермы.
Все импликанты карты Карно, представленной на рис. 1.2, сформированы аналогично (1.7) и окончательно имеют вид
Соединяя знаком дизъюнкции все импликанты ((1.7) и (1.8)), формируем уравнение МДНФ, функция которого приведена в табл. 1.4:
(1.9)
Полученная в (1.9) МДНФ имеет сложность {Y} = 11.
Коэффициент покрытия определяет эффективность выбранных областей при объединениях в картах Карно:
(1.10)
где k количество областей объединения; m количество минтермов.
Преобразования МДНФ логической функции выполняются с целью представить её в другом виде либо уменьшить её сложность, при этом логическая функция после преобразований должна оставаться эквивалентной исходной функции СДНФ (СКНФ). Для преобразования используются законы дуальности и метод факторизации.