Глава первая

математические основы синтеза

функциональных узлов

1. основы булевой алгебры

В современных цифровых электронных устройствах большинство аппаратных вычислительных процессов представляются напряжениями двух уровней (высокого и низкого) при широком диапазоне номинальных значений напряжения высокого уровня для различных устройств. Два уровня напряжения эквивалентны двум цифрам математики  единице и нулю, что позволяет при схемотехническом расчете принципиальных схем использовать язык булевых функций, наиболее широко используемые законы которого приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Основные законы языка булевых функций

Законы	Логические операции
Коммутативности	А  В = В  А ; А  В = В  А
Ассоциативности	А  В  С = А  (В  С) ; А  В  С = А  (В  С)
Дистрибутивности	А(В С)=(АВ) (АС) ; А  (ВС) = (А  В (АС)
Дуальности	А В = А  В ; А  В = А  В
Поглощения	А  (А  В) = А ; А  (А  В) = А
Склеивания	(А  В)  (А  В) = В ; (А  В)  (А  В) = В
Тождества	1  А  1; 0  А  А; А  А  А; А  А  1 1  А  А; 0  А  0; А  А  А; А  А  0

В двоичной математике операции «поразрядное умножение» () и «конъюнкция» () тождественны, следовательно, в дальнейшем допускаются эквивалентные обозначения: А  В  А  В  АВ.

Обобщение законов дистрибутивности и тождеств двоичной алгебры позволяет получить законы поглощения и склеивания.

Анализ закона дуальности позволяет сделать вывод, что инверсия любого логического выражения может быть получена заменой операции конъюнкции на операцию дизъюнкции (операции дизъюнкции на операцию конъюнкции) и заменой каждой логической переменной инверсным значением, например: .

Электрическая работа цифрового электронного устройства представляется последовательностью уровней напряжений, которые отоб-ражаются в схемотехнике соответствующими логическими значениями  нулями и единицами, что позволяет формировать логическую функцию, отображающую его работу. Применение и обобщение законов языка булевых функций позволяет преобразовывать логические функции работы электронных устройств и находить самые простые их выражения.

Логическая функция содержит аргументы, которые отображают входы цифрового электронного устройства, следовательно, присваивая аргументам различные значения логических нулей и единиц, можно проанализировать воздействие на входы соответствующих уровней напряжений.

Логические функции, независимо от их сложности, могут быть представлены в форме табличного, алгебраического, графического и словесного описаний.

Табличный способ наиболее часто задаёт функции в алгебре логики и представляется в виде таблиц истинности. Таблица истинности содержит все сочетания значений аргументов и соответствующие им значения функции, что позволяет наглядно представить зависимость логических значений для входов и выходов устройства. Для n аргументов (логических переменных) существует 2 ⁿ сочетаний, а с учетом того, что каждый аргумент может принимать два значения (0 либо 1) возникает 2 функций, следовательно, при n = 2 (для двух аргументов) полный набор логических функций равен N₂ = 2 = 16 и представлен в табл. 1.2.

Табл. 1.2 содержит полное представление одновременно как всех функций двух аргументов, так и каждой функции отдельно, расположенной в вертикальном столбце.

Использование функций двух аргументов позволяет представить логическую функцию произвольной сложности комбинациями этих функций.

Алгебраический способ используется при выполнении преобразований функции, а переход от табличного способа к алгебраическому осуществляется при помощи минтермов или макстермов.

Минтерм (конституента единицы)  конъюнкция всех аргументов, представленных в таблице истинности, при этом значение данного аргумента вносится в минтерм в прямом виде, если аргумент в таблице представлен единицей, либо вносится в инверсном виде, если аргумент в таблице представлен нулем.

Макстерм (конституента нуля)  дизъюнкция всех аргументов, представленных в таблице истинности, при этом значение данного аргумента вносится в макстерм в прямом виде, если аргумент в таблице представлен единицей, либо вносится в инверсном виде, если аргумент в таблице представлен нулем.

Для n аргументов существует k = 2 ⁿ минтермов: m₀, m₁, …, m_k1, причем индекс (номер минтерма) равен значению двоичного числа, которое образуется соответствующим набором аргументов. Значения минтермов для функции неравнозначности (функция F₆, табл. 1.2), соответствующие i-му набору переменных, обозначены m_i и приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3