1. Расчет установившегося режима электрической цепи при синусоидальном воздействии, комплексный метод

1.1 Общие данные

Поскольку на практике выполнять математические операции с

гармоническими (синусоидальными) функциями неудобно, в расчетах

используется преобразование, позволяющее представить реальную

синусоидальную величину, являющуюся функцией времени (оригинал), в

виде некоторой эквивалентной величины на комплексной плоскости

(изображение).

Синусоидальный ток можно представить как «след» вектора, вращающегося

против часовой стрелки с угловой скоростью w. Тогда от операций с

синусоидальными величинами можно перейти к операциям с векторами. (Рисунок 1)

Рисунок 1 – Представление синусоидального тока

Поскольку в одной цепи у всех токов и напряжений угловая частота ω будет

одинаковой (соответствует частоте приложенного воздействия), самим

фактом вращения вектора можно пренебречь и перейти от синусоидальной

величины к вектору на комплексной плоскости.

Общий вид вектора на комплексной плоскости представлен на рисунке 2:

Рисунок 2 – общий вид вектора на комплексной плоскости

По горизонтальной оси откладывается действительная часть a₁= Re(A), по

Вертикальной – мнимая часть a₂= Im(A). Само числоA может быть

записано в виде: A = a₁+ ja₂, где j — мнимая единица:

j =

Комплексные числа можно записывать в трех различных формах. Основными формами записи являются алгебраическая:

A=a₁+ ja₂

Экспоненциальная:

A=, |A|=,ψ=arctg

Связь между ними обеспечивает тригонометрическая форма записи:

A=∣A∣cos(ψ)+ j∣A∣sin(ψ)

В электротехнике для того, чтобы отличать комплексные изображения токов и напряжений их принято обозначать «точечкой» или «кружочком» над величиной (старый стандарт) или подчеркивать снизу (новый стандарт): Ů , I̊ или U,I

Переход от оригинала к изображению:

u (t)=U_m sin(ω t+ψ_u)→Ů_m=U_m

1.2 Комплексные сопротивления элементов цепи

При синусоидальном воздействии сопротивление также имеет действительную и мнимую части:

Z=r+ jX

Причем для активного сопротивления, индуктивности (катушки) и ёмкости

(конденсатора) сопротивления определяются из выражений:

Z_r = r; Z_L = jω L; Z_C =

Комплексная проводимость обозначается:

Y = g + jb

и вычисляется из выражения:

Y =

Использование комплексных изображений позволяет применять для расчета те же формулы, которые использовались для цепей постоянного тока с той

разницей, что вместо действительных значений токов, напряжений и

сопротивлений используются комплексные значения.

2. Примеры решения задач

Задача: Найти комплексные токи соответствующие синусоидальным функциям времени:

а) i = 10 sin(100p),

б) i = 10 sin(100p + p/2),

в) i = 10 sin(100p + p),

г) i = 10 sin(100p + p/4),

д) i = 10 sin(100p + 3p/4),

е) i = 10 sin(100p + 5p/4).

Решение: Применяя правила перехода от мгновенных величин к комплексным, получим для комплексных амплитуд: 

а),

б),

в) ,

г) ,

д) ,

е)

Комплексные действующие значения отличаются от указанных величин в раза, то есть :

Приложение 1

%Введем точку короткого замыкания

%Введем два узла схемы, соединенных искомой ветвью

Uz1=2;

Uz2=11;

l=0.4;%Введем местоположение пробоя в долях единицы

rk=1;%Введем сопротивление короткого замыкания

%Вычисление номера ветви в таблице топологии

Nvet=find((Topol(:,3)==Uz1 &Topol(:,4)==Uz2) | (Topol(:,3)==Uz2 &Topol(:,4)==Uz1));

%Максимальное количество ветвей исходной сети

n = size(Topol,1);

%Максимальное количество узлов исходной цепи

m = max(max(Topol(1:n,3:4)));

%Составим вектор комплексных сопротивлений

r = Topol(1:n,6)+1i*Topol(1:n,7);

%Составимвектор комплексных ЭДС

e = Topol(1:n,8) + 1i*Topol(1:n,9);

%Приведем к одному уровню напряжения

%Составим матрицу коэффициентов трансформации

k=Topol(Nvet,10)./Topol(:,10);

%Приведем сопротивления и ЭДС к одному уровню напряжения

rp=r.*(k.^2);

ep=e.*k;

%Составим новую матрицу

Topol2=Topol;

%Первыйучасток

Topol2(n+1,3)=Topol(Nvet,3);

Topol2(n+1,4)=m+1;

Topol2(n+1,6)=Topol(Nvet,6)*l;

Topol2(n+1,7)=Topol(Nvet,7)*l;

Topol2(n+1,8)=Topol(Nvet,8);

Topol2(n+1,9)=Topol(Nvet,9);

Topol2(n+1,10)=Topol(Nvet,10);

%Второй участок

Topol2(n+2,3)=m+1;

Topol2(n+2,4)=Topol(Nvet,4);

Topol2(n+2,6)=Topol(Nvet,6)*(1-l);

Topol2(n+2,7)=Topol(Nvet,7)*(1-l);

Topol2(n+2,8)=Topol(Nvet,8);

Topol2(n+2,9)=Topol(Nvet,9);

Topol2(n+2,10)=Topol(Nvet,10);

%Ветвькороткогозамыкания

Topol2(n+3,3)=m+1;

Topol2(n+3,4)=0;

Topol2(n+3,6)=real(rk);

Topol2(n+3,7)=imag(rk);

Topol2(n+3,8)=Topol(Nvet,8);

Topol2(n+3,9)=Topol(Nvet,9);

Topol2(n+3,10)=Topol(Nvet,10);

%Сосчитаем токи

kt=k;

kt((n+1):(n+3))=kt(Nvet);

kt(Nvet)=[]; %Удаление данных для исходной ветви

rp(n+1)=Topol2(n+1,6)+1i*Topol2(n+1,7);

rp(n+2)=Topol2(n+2,6)+1i*Topol2(n+2,7);

rp(n+3)=Topol2(n+3,6)+1i*Topol2(n+3,7);

rp(Nvet)=[];%Удаление данных для исходной ветви

ep((n+1):(n+3))=ep(Nvet);

ep(Nvet)=[];%Удаление данных для исходной ветви

%Определение размерности матриц проводимости и соединений

Topol2(Nvet,:)=[]; %Удаление исходной ветви из новой матрицы

n = size(Topol2,1);

m = max(max(Topol2(1:n,3:4)));

A = zeros(m,n);

g = zeros(n);

%Новый вектор комплексных сопротивлений

r =rp;

%Заполним матрицы проводимости и соединений

for i=1:n

g(i,i) = r(i)^-1;

if Topol2(i,3)>0

A(Topol2(i,3),i) = 1;

end

if Topol2(i,4)>0

A(Topol2(i,4),i) = -1;

end

end;

%Новый вектор комплексных ЭДС

e=ep;

%Расчет режима

guz = A*g*A';

Juz =-A*(g*e);

Uuz = guz\Juz;

Ivet = g*(A'*Uuz+e);

%Проверка суммы токов в узлах

s(1:m)=0;

fori =1:m

for j = 1:n

s(i)=(-A(i,j))*Ivet(j)+s(i);

end

end

s(:)

%Приведем токи к напряжению ветвей

Ivet2=Ivet./kt %Результат вычислений