- •Часть 3. Динамика
- •Составители:
- •Рецензент:
- •4. Контрольная работа n 3. Часть 1.
- •4.1.3. Аксиомы динамики
- •4.1.4. Методы решения задачи динамики точки
- •4.1.5. Дифференциальные уравнения движения точки. Способы интегрирования дифференциальных уравнений
- •4.1.6. Принцип Даламбера для точки
- •4.1.7. Общие теоремы динамики точки
- •4.2. Варианты задач и примеры их решения
- •4.2.1. Порядок решения задач
- •Задача д-1. Первая задача динамики точки. Принцип Даламбера.
- •Задача д-2. Вторая задача динамики точки. Интегрирование дифференциальных уравнений.
- •Задача д-3. Теоремы динамики точки
- •5. Контрольная работа № 3. Часть 2.
- •5.1.3. Методы решения задач на движение материальной системы.
- •5.2. Варианты задач и примеры их решения Задача д-4. Теорема о движении центра масс
- •Задача д-5. Теорема об изменении кинетического момента материальной системы (теорема моментов)
- •Задача д-6. Теорема об изменении кинетическОй энергии для материальной системы
- •Задача д-7. Принцип Даламбера для материальной системы
5.2. Варианты задач и примеры их решения Задача д-4. Теорема о движении центра масс
а) Исходные данные.Расчетная схема (общая для всех вариантов задач) приведена на рис.4.1, исходные данные – в табл.4.1.
Таблица 4.1.
Рис.4.1.
Примечание. Функцию выбирают по последней цифре шифра, угол- по предпоследней |
Цифра шифра |
Функция , м |
Угол , град |
0 |
30 | ||
1 |
45 | ||
2 |
60 | ||
3 |
|
75 | |
4 |
60 | ||
5 |
75 | ||
6 |
45 | ||
7 |
30 | ||
8 |
45 | ||
9 |
150 |
б) Условие задачи
Дано:материальная система, состоящая из двух тел. Тело 1 представляет собой плиту, расположенную вертикально и перемещающуюся в двух направляющих со скоростьюм/с в плоскости чертежа, Масса плитыкг.
Тело 2 представляет собой материальную точку Dмассойкг. Она перемещается по желобуAB. Закон ее движения имеет вид. Угол наклона желоба к горизонтальной оси. Выражение дляSи значение углаприведены в табл.4.1.
В начальный момент времени .
Составить уравнения движения центра масс (точки С) материальной системы и определить значения ,иNв момент временис.
в) Указания по решению задач
1. Для решения задачи Д-4 надо применить дифференциальные уравнения движения центра масс. Так как и, то получим
; (а)
. (б)
2. Из уравнения (а) найдем закон движения центра масс.
Последовательно интегрируя, получим
; (в)
, (г)
где и- постоянные интегрирования, которые находим из начальных условий:;.
Из уравнений (б) найдем нормальную реакцию N.
3. Координаты центра масс материальной системы находят по формулам.
; (д)
. (е)
Здесь обозначены:
,M– массы тел 1 и 2 по отдельности и масса всей материальной системы:;
- координаты центров масс тел 1 и 2. Их находим по следующим формулам:
Таким образом, имеем
;
.
Взяв производные, получим выражение для скорости центра масс в проекции xиy:
;
.
Следовательно
то есть
4. Из уравнения (в) следует, что скорость движения центра масс вдоль оси xявляется постоянной (третье следствие к теореме: если, тоявляется постоянной).
При с имеем
.
5. Значение Nнаходим из уравнения (б)
,
Так как
,
то
,
следовательно
.
Задача решена полностью.
г) Пример решения задачи.
Расчетная схема приведена на рис.4.2.
Дано:кг,кг,м/с,,.
Определить: для момента времени с значения:,,.
Решение:а) рассмотрим движение материальной системы вдоль оси.
Находим для момента временизначенияи:
Т
Рис.4.2.
Следовательно
Таким образом м/с,м/с и уравнение движения центра масс имеет вид
,
отсюда
м/с.
При с имеем:м;м/с.
б) найдем значения по формуле
.
Здесь
и
.
Находим вторую производную от S:
и ее значение при с
м/с.
Значит
Н.
Таким образом, задача решена.
Задача д-5. Теорема об изменении кинетического момента материальной системы (теорема моментов)
а) Исходные данные.Расчетная схема (общая для всех вариантов задач) приведена на рис.5.1, исходные данные – в табл.5.1.
Таблица 5.1.
Рис.5.1.
Примечание. Функцию выбирают по последней цифре шифра, момент М - по предпоследней |
Цифра шифра |
Функция , м |
Положение точки А |
Направление отсчета S |
М, Нм |
0 |
1 |
По ходу вращения |
0 | ||
1 |
2 |
-"- |
12 | ||
2 |
3 |
-"- |
-5 | ||
3 |
4 |
Против хода |
0 | ||
4 |
1 |
-"- |
8 | ||
5 |
2 |
-"- |
-10 | ||
6 |
3 |
-"- |
0 | ||
7 |
4 |
-"- |
20 | ||
8 |
1 |
По ходу вращения |
-15 | ||
9 |
2 |
-"- |
0 |
б) Условие задачи
Дано:материальная система, состоящая из двух тел. Тело 1 представляет собой диск радиусомм и массойкг. Он вращается вокруг неподвижной вертикальной осиzс начальной угловой скоростью. Тело 2 представляет собой материальную точкуDмассойкг, которая движется по круглому желобу (пунктир по поверхности диска) радиусомм. Закон движения точки. Начало отсчета величиныSпоказано для отдельных вариантов задач цифрами 1, 2, 3, 4 на диске. Направление отсчета – по ходу и против хода часовой стрелки, как показано в табл.5.1 с помощью знака момента.
После начала вращения диска на него действует пара сил с моментом М, лежащим в плоскости диска. Если , то ее момент направлен по направлению вращения диска, если- в обратную сторону.
Определить: угловую скорость вращения диска в конце движения дляс.
в) Указания к решению
1. Задачу Д-5 решают с помощью теоремы моментов. Расчетное уравнение имеет вид
.
2. Величина - кинетический момент материальной системы.вданной задаче он равен сумме кинетических моментов двух тел
.
Кинетический момент диска вычисляют по формуле
,
где - момент инерции диска относительно оси вращенияz. Для сплошного круглого диска.
Точка Dсовершает сложное движение: переносное вместе с диском и относительное – по диску, значит
,
где (- момент количества движения точки относительно оси вращения);
(- количество движения точки в относительном движение по диску).
Таким образом,
.
При вращении тела и движении точки в одну сторону записывают знак "+", в разные – знак "-".
3. Величина - сумма моментов внешних сил относительно осиz. Так силы тяжести ипараллельны осиZ, то их моменты равны нулю. Значит
.
4. Таким образом, расчетное уравнение принимает вид
.
Отсюда () имеем
или
.
5. Постоянную интегрирования находим из нулевых начальных условиях: при,,.
Следовательно
.
Значит
.
Отсюда выражаем прис.
г) Пример решения задачи.
Расчетная схема приведена на рис.5.2.
Дано: м,м,;кг;кг;,движение точки D направлено против часовой стрелки, вращение по часовой стрелке, то естьНм.
О
Рис.5.2.
Решение:
1. Запишем расчетное уравнение в общем виде
.
Отсюда имеем (при )
. (1)
2. Запишем выражение для
.
Здесь .
Значит
.
Тогда
. (2)
3. Вычислим значение . При, значит
,
где .
Подставим теперь выражения (2) и в уравнение (1)
. (3)
Выражаем теперь значение прис:
.
Отсюда имеем
.
Таким образом, задача решена.