- •Часть 3. Динамика
- •Составители:
- •Рецензент:
- •4. Контрольная работа n 3. Часть 1.
- •4.1.3. Аксиомы динамики
- •4.1.4. Методы решения задачи динамики точки
- •4.1.5. Дифференциальные уравнения движения точки. Способы интегрирования дифференциальных уравнений
- •4.1.6. Принцип Даламбера для точки
- •4.1.7. Общие теоремы динамики точки
- •4.2. Варианты задач и примеры их решения
- •4.2.1. Порядок решения задач
- •Задача д-1. Первая задача динамики точки. Принцип Даламбера.
- •Задача д-2. Вторая задача динамики точки. Интегрирование дифференциальных уравнений.
- •Задача д-3. Теоремы динамики точки
- •5. Контрольная работа № 3. Часть 2.
- •5.1.3. Методы решения задач на движение материальной системы.
- •5.2. Варианты задач и примеры их решения Задача д-4. Теорема о движении центра масс
- •Задача д-5. Теорема об изменении кинетического момента материальной системы (теорема моментов)
- •Задача д-6. Теорема об изменении кинетическОй энергии для материальной системы
- •Задача д-7. Принцип Даламбера для материальной системы
Задача д-3. Теоремы динамики точки
а. Условие задачи.
Шарик, принимаемый за материальную точку массой m, движется с начальной скоростью vAвнутри изогнутой трубки с радиусом закругления R, расположенной в вертикальной плоскости. Движение начинается из положения А, в котором шарик соприкасается с пружиной жесткостиc, сжатой на величину h0. Пройдя путь h0, шарик отделяется от пружины и движется под действием силы тяжести, а на прямолинейных участках и под действием силы трения.
Определитьскорость шарика в положениях В и Д, учитывая время движения t на участке ВД и коэффициент трения f на прямолинейном участке.
Численные данные приведены в табл.3.3, схемы по всем вариантам на рис.3.3.
Таблица 3.3.
№ вариантов |
m, кг |
vА, м/с |
t, с |
R, м |
, град. |
, град. |
f |
c, H/м |
h0, м |
0 |
0,5 |
10 |
0,2 |
0,5 |
90 |
45 |
0,1 |
100 |
0,4 |
1 |
0,2 |
8 |
0,1 |
0,4 |
30 |
90 |
0,2 |
50 |
0,2 |
2 |
0,3 |
9 |
0,1 |
0,6 |
90 |
90 |
0,2 |
80 |
0,3 |
3 |
0,4 |
10 |
0,1 |
0.8 |
60 |
90 |
0,1 |
100 |
0,4 |
4 |
0,4 |
12 |
0,2 |
0,6 |
45 |
45 |
0,2 |
80 |
0,4 |
5 |
0,2 |
8 |
0,1 |
0,5 |
90 |
30 |
0,1 |
80 |
0,2 |
6 |
0,3 |
9 |
0,2 |
0,6 |
90 |
0 |
0,1 |
60 |
0,6 |
7 |
0,8 |
10 |
0,1 |
0,8 |
0 |
90 |
0,2 |
120 |
0,4 |
8 |
0,6 |
12 |
0,2 |
0,6 |
90 |
60 |
0,1 |
90 |
0,3 |
9 |
0,5 |
8 |
0,1 |
0,5 |
45 |
90 |
0,2 |
100 |
0,5 |
Рис.3.3.
Пример решения задачи.
Дано:Шарик, принимаемый за материальную точку массой m = 0,2 кг, движется внутри трубки с радиусом закругления R = 1 м, расположенной в вертикальной плоскости. Шарик начинает движение со скоростью vA= 4 м/с. из положения А, в котором он соприкасается с пружиной жесткости с = 100 Н/м, сжатой на величину h0= 0,2 м (рис.1а). Пройдя путь h0, шарик отделяется от пружины и движется , не испытывая трения, по криволинейным участкам трубки. Коэффициент трения на прямолинейных участках f = 0,2, время движения по участку ВД равно 0,1 с.
Рис.1.
Найти скорость шарика в положениях В и Д.
Решение. Для определения скорости шарика в точке В используем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.
На шарик действуют сила тяжести и нормальная реакция трубки на всем пути АВ, сила упругости и сила трения – на пути h0, (рис.1б).
Суммарная работа сил
А(N) = 0.
Работа силы упругости пружины
Аупр.= -
где: - начальная деформация пружины,;
- конечная деформация пружины,
Работа силы трения
АТР.= - Fтр.h0= -mgfh2.
Работа силы тяжести
Атяж. = mgH; Aтяж. = mgR(I + cos60),
где: Н - высота, на которую опустился шарик по вертикали на пути АВ (см.рис.3б)
H = (R + Rcos60).
Произведя подстановку, получим
Решая уравнение, находим скорость точки В:
Отсюда находим
vB= 8,04 м/с.
Для определения скорости шарика в точке Д применяем теорему об изменении количества движения материальной точки на участке ВД в проекциях на оси координат, так как известно время движения шарика на этом участке (рис.3б):
mvДx-mvBx=Sxi;
mvДy- mvBy=Sуi.
На шарик действует сила тяжести, нормальная реакция и сила трения. Оси координат направим по прямой ВД и перпендикулярно к ней.
Так как скорости направлены по прямой ВД, то
mvД - mvВ= (-mgcos30– f mgcos60)tВД;
0 = (N – mqcos60)tВД.
Определив нормальную реакцию N = mgcos60и силу трения Fтр= mgfcos60, находим скорость шарика в точке Д:
vД = vВ – g(cos30 + fcos60) tВД = 8,04 – 9,8(0,866 + 0,20,5)0,1 = 7,09 м/c.
Значит
vД = 7,09 м/c.