Вектор угловой скорости является радиус-вектором точки А. Поэтому скорость точки А равна:
r = dw vA dt .
Направлен вектор скорости точки А по касательной к её траектории.
11
Сравнивая формулы:
r |
d |
|
r |
dw |
|
dt |
; |
vA |
= dt , |
приходим к выводу: |
|
|
vA. |
|
|
|
|
|
Это равенство отражает теорему Резаля в кинематике:
Вектор ускорения тела при сферическом движении геометрически равен скорости конца вектора мгновенной угловой скорости тела.
12
Поэтому вектор углового ускорения тела при сферическом движении в каждый момент времени направлен параллельно вектору скорости точки А.
vA.
13
4. Скорость и ускорение точки тела при сферическом движении
r aM
Определим вектор скорости точки М и его модуль.
vM =w´ r; vM =w×hw.
Ускорение точки М равно:
|
r |
|
r |
r |
r |
|
r |
r |
r |
r r |
r r |
|
|
dvM |
|
d (w´ r ) |
dw |
dr |
|
||||||
= |
dt |
= |
|
|
= dt |
´ r |
+w´ dt |
= e´ r |
+w´ v |
; |
||
dt |
|
|||||||||||
14
Ускорение, равное векторному произведению |
e´ называетсяr |
||||||||||
вращательным. Модуль этого ускорения равен: |
|
|
|||||||||
|
r r |
|
|
( |
r r |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
¶ |
( |
) |
e |
вр |
|
||
|
e´ r |
|
=e××r sin |
e;r |
. |
||||||
|
|
|
|
=e××r sin |
b =e×h =a |
|
|||||
Направление вектора вращательного ускорения определяем по правилу определения направления векторного произведения.
15
Ускорение, равное векторному произведению w´ называетсяv, осестремительным. Модуль этого ускорения равен:
r r |
|
·r r |
o |
2 |
|
||||
w´ v |
|
=w××v sin(w;v) =w××v sin(90 |
) =w×v =w×w×hw =w ×hw =aос ; |
|
Направление вектора осестремительного ускорения определяем по правилу определения направления векторного произведения.
16
Таким образом, ускорение точки тела при сферическом движении равно сумме двух ускорений: вращательного и осестремительного.
aМ =aвр +aос ;
Модуль ускорения точки определяется по формуле косинусов:
aМ = |
2 2 |
r r |
aвр +aос +2 |
×aвр ×aос ×cos aвр ,aос . |
Аналогами вращательного и осестремительного ускорений в кинематике точки являются соответственно касательное и
нормальное ускорения. |
17 |
|
КОНЕЦ
18