- •Вспомогательные материалы для выполнения лабораторных работ. О приближенных вычислениях
- •1. Промахи
- •2. Систематические погрешности
- •3. Случайные погрешности
- •Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях
- •1. Абсолютная погрешность
- •2. Относительная погрешность
- •Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях
- •Использование формул дифференцирования
- •Использование дифференциала натурального логарифма
- •Графическая обработка результатов измерений
- •Составление отчета
Использование дифференциала натурального логарифма
Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть ЕА = DA/Аср , но d(lnA) = DA/А и, следовательно, D(lnA) = DA/А.
Правило II.
1) Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, ...).
2) Дифференцируют полученный логарифм по всем аргументам.
3) Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, ... абсолютными ошибками соответствующих аргументов Dx, Dy, Dz, … (знаки "минус" в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками "плюс").
После вычислений получают относительную погрешность ЕА.
4) Абсолютную погрешность находят из формулы
DA = ACP EA..
Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.
2. Если функция A = f (x, y, z, ...) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.
Рассмотрим следующие примеры:
1. В результате изучения равноускоренного движения некоторого тела получено выражение S = v0×t + a×t2/2, в котором
v0 = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с2; t = (30 ± 2) с;
S = 12 30 + = 1485 м.
Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда
.
Так как
DV0 = 1 м/с; Dt = 2 с; Da = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с; aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для DS, получим
D
18
Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда
ES = 100% = 0.266 100% = 27%.
Окончательный результат будет иметь вид:
S = (1500400) м; ЕS = 27%.
2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращающееся по окружности, пользуются формулой
F =.
В результате измерений получено: m = (15.5 ± 0.2) кг;
v = (3.45 ± 0.01) м/с; R= (150 ± 5) м;
F = = 1.2299 H.
Для определения абсолютной и относительной ошибок при оценке центростремительной силы в данном случае удобно пользоваться правилом II, т.к. функция F = f (m,v,R) удобна для логарифмирования. Тогда
ln F = ln m + 2 ln v - ln R.
Продифференцировав это равенство, получим
;
Так как
Dm = 0.2 кг; Dv = 0.01 м/с; DR = 5 м; mСР = 15.5 кг; vСР = 3.45 м/с; RСР = 150 м, то
; EF = 5.2%;
DF = F EF = 1.2299 Н 0.052 = 0.06396 Н = 0.06 Н.
При определении центростремительной силы третья цифра слева является сомнительной и F = 1.23 Н. Окончательный результат запишется в виде
F = (1.23 ± 0.06) Н; EF = 5.2% .
Используя первый или второй способы в расчете абсолютной и относительной ошибок измерений для часто встречающихся зависимостей, можно воспользоваться соответствующими формулами, которые сведены в таблицу 1.
Таблица 1
Вид функции |
Абсолютная погрешность |
Относительная погрешность |
А = a + b |
± (Da + Db) |
|
A = a+ b + c |
± (Da + Db + Dc) |
|
A = a - b |
± (Da + Db) |
|
A = a×b |
± (a×Db + b×Da) |
|
A = a×b×с |
± (b×c×Da + a×c×Db + a×b×Dc) |
|
|
|
|
A = an |
± n×an-1×Da |
|
A = en |
± Dnen |
Dn |