2. Электроёмкость конденсатора

Цель работы:изучение основных характеристик конденсаторов, переходных процессов в электрических цепях с конденсаторами, измерение ёмкости конденсатора.

Основные теоретические сведения

На практике необходимы устройства, позволяющие при малых габаритах накапливать (конденсировать) большие заряды. Этим требованиям удовлетворяют конденсаторы: системы из двух проводников. Образующие конденсатор проводники называют обкладками. Внешние поля не должны оказывать влияния на способность конденсировать заряды. Для этого обкладкам придают такую форму и располагают друг относительно друга так, чтобы поле, создаваемое зарядами на обкладках, было сосредоточено между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: две параллельные пластины из проводящего материла, расположенные на малом расстоянии друг от друга, два коаксиальных цилиндра, две концентрических сферы. Соответственно конденсаторы называют: плоскими, цилиндрическими и сферическими (рис. 2.1). Конденсаторы находят широкое применение в электротехнических и радиотехнических устройствах.

Способность накапливать заряды называется электрической ёмкостью, которая определяется по формуле

, (2.1)

где – величина заряда на каждой обкладке конденсатора;– разность потенциалов между обкладками. Т.е. ёмкость численно равна заряду, который необходимо сообщить обкладкам для того, чтобы разность потенциалов возросла на единицу. Единицей электроёмкости является фарад (Ф). Фарад – это электроёмкость такого конденсатора, передача которому заряда в один кулон изменяет его разность потенциалов на один вольт .

Рис. 2.1. Типы конденсаторов: плоский (а), сферический (б) и цилиндрический (в)

Получим формулу ёмкости плоского конденсатора (рис. 2.1а), площадь обкладки которого S, зазор между пластинамиdмал по сравнению с линейным размером обкладки. Поле внутри такого конденсатора можно считать однородным и можно пренебречь краевыми эффектами. Напряжённость поля внутри конденсатора, где­– поверхностная плотность распределения заряда на обкладке. Разность потенциалов между обкладками найдём, выбрав линию интегрирования вдоль силовой линии поля. Отсюда ёмкость плоского конденсатора. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, то напряжённость поля уменьшится враз (– диэлектрическая проницаемость среды), а ёмкость увеличится враз и станет равной

. (2.2)

Электроёмкость конденсатора при заданных геометрических размерах может меняться в широких пределах в зависимости от диэлектрической проницаемости диэлектрика. Диэлектрическая проницаемость современных керамических материалов достигает порядка .

Получим формулу сферического конденсатора, радиус внутренней сферической обкладки которого равен a, внешней –b. Поле, возникающее между обкладками, описывается формулой напряжённости поля точечного заряда(при значенияхудовлетворяющих условию). Выбрав линию интегрирования вдоль радиуса, найдём

, (2.3)

отсюда ёмкость конденсатора

. (2.4)

Если , тои, что есть ёмкость уединённой сферы. Если величина зазора мала по сравнению с радиусами обкладок, тои. Тогда, где– площадь сферической обкладки. Полученная формула совпадает с формулой ёмкости плоского конденсатора.

Ёмкость цилиндрического конденсатора на единицу длины

Рис. 2.2. Параллельное соединение конденсаторов

. (2.5)

Энергия, запасённая в конденсаторе, определяется по формуле

. (2.6)

На практике применяется параллельное, последовательное и комбинированное соединение конденсаторов. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 2.2) разность потенциалов на каждом конденсаторе одинакова и равна .

Заряд, накопленный на всех конденсаторах . Согласно формуле (2.1) ёмкость такой системы

. (2.7)

Рис. 2.3. Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов (рис. 2.3) заряды на каждом конденсаторе одинаковы, а суммарное падение напряжения

. (2.8)

Полная ёмкость такого соединения определяется из соотношения:

. (2.9)

Рис. 2.4. Схема цепи с конденсатором

Рассмотрим процесс разряда конденсатора в цепи, электрическая схема которой представлена на рис. 2.4.

При замкнутом ключе конденсатор заряжен до разности потенциалов батареи, заряд на конденсаторе . После размыкания ключа заряды стекают через сопротивление . Через сопротивление течёт уменьшающийся по мере разряда конденсатора ток .

В любой момент времени при разряде конденсатора разность потенциалов между его обкладками равна .

Из равенства падений напряжений на конденсаторе и сопротивлении следует:

. (2.10)

Разделяя переменные в уравнении (2.10), получим

. (2.11)

Интегрируя и потенцируя выражение (2.11), с учётом начальных условий, находим

. (2.12)

Величина называется постоянной времени для данной цепи. Ёе значение определяет время уменьшения заряда вeраз (e2,71).

Согласно формуле (2.1) для вычисления величины ёмкости при заданном напряжении необходимо определить заряд конденсатора. Это можно сделать двумя способами: методом баллистического гальванометра или регистрируя изменение тока разряда конденсатора со временем.

Первый метод применим, когда время разряда конденсатора в данной цепи намного меньше периода собственных колебаний рамки магнитоэлектрического измерительного прибора . Такой прибор называется баллистическим гальванометром. При протекании кратковременного токаIпо рамке, помещённой между полюсами постоянного магнита, рамка получает импульс моментаMамперовых сил

, (2.13)

где B– магнитная индукция поля постоянного магнита,S– площадь рамки,N– количество витков в рамке,q– определяемый электрический заряд, прошедший через рамку гальванометра.

Если , то можно считать, что за времярамка успевает лишь приобрести начальный момент импульсаи начальную угловую скорость. С учётом выражения (2.13) получим

. (2.14)

Тогда начальная кинетическая энергия подвижной системы гальванометра с учётом соотношения (2.14) равна

. (2.15)

Движение рамки сопровождается переходом кинетической энергии подвижной системы в потенциальную энергию упругой деформации пружины, равную . С учётом соотношения, где – постоянный коэффициент, а угол–  угол поворота рамки, получим

. (2.16)

При максимальном угле поворота подвижной системы вся её кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины. Приравнивая выражения (2.15) и (2.16), находим

, (2.17)

где – величина, постоянная для данного прибора.

Из формулы (2.17) следует, что заряд, прошедший через баллистический гальванометр, пропорционален максимальному углу поворота его подвижной системы из положения равновесия. В этом случае отброс стрелки гальванометра будет пропорционален заряду на конденсаторе, а при постоянном напряжении также и ёмкости конденсатора согласно формуле (2.1). Следовательно, ёмкость конденсатора пропорциональна числу делений, на которое совершает отброс стрелка гальванометра:

, (2.18)

где  – число делений, – коэффициент пропорциональности.

Имея эталонный конденсатор известной ёмкости C, можно определить цену деления гальванометра при измерении ёмкостей по формуле

. (2.19)

Зная цену деления , по отбросу стрелки гальванометра можно определить ёмкость любого другого конденсатора при соблюдении условия .

При применяется второй метод определения заряда конденсатора. Заряд конденсатора при этом определяется по формуле:

. (2.20)

В этом случае заряд конденсатора будет равен площади под кривой зависимости разрядного тока от времени.