prim-8
.pdf
3 Эпюра касательных напряжений
Действительные максимальные касательные напряжения на соответствующих участках вала определяем по формуле
|
Ткр |
|
Ткр |
|
|
|
; |
||
W |
0,2 d3 |
|||
|
p |
|
|
|
на участке ℓ4:
1 |
Ткр1 |
|
0,5 103 |
|
22,61 |
МПа |
3 |
0,5 0,047 |
3 |
||||
|
0,2 d2 |
|
|
|
|
на участке ℓ3:
2 |
Ткр2 |
|
1 103 |
|
45,2 |
МПа |
3 |
0,5 0,047 |
3 |
||||
|
0,2 d2 |
|
|
|
|
на участке ℓ2:
|
Ткр3 |
|
2 103 |
|
|
3 |
|
|
|
23,7 |
МПа |
3 |
3 |
||||
|
0,2 d1 |
|
0,5 0,074 |
|
|
на участке ℓ1:
|
Ткр4 |
|
|
4 103 |
|
|
4 |
|
|
|
|
47,4 |
МПа |
3 |
0,5 |
3 |
||||
|
0,2 d1 |
|
0,074 |
|
||
Эпюра касательных напряжений показана на рисунке 1.
3 Эпюра углов закручивания
Левый конец вала жестко закреплен, следовательно угол закручивания φ целесообразно отсчитывать от жесткого закрепления. Поскольку крутящий момент Ткр и жесткость вала при кручении G Jp постоянны на каждом
участке вала, угол φ определяем по формуле:
Ткр
G Jp
Полярный момент инерции круглого сечения
Jp 0,1 d4
Угол поворота сечения ℓ1 относительно сечения О-О
|
4 |
|
Ткр4 |
1 |
|
4,0 103 1,5 |
0,024 |
рад 1,36 |
|
||
G 0,1 d4 |
8 104 |
106 |
0,1 0,0744 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Угол поворота второго сечения относительно О-О будет складываться из углов поворота сечения ℓ1 и сечения ℓ2 относительно О-О:
|
|
Ткр3 |
2 |
|
|
|
2,0 103 1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,024 0,012рад 0,68 |
G 0,1 d14 |
|
8 104 106 0,1 0,0744 |
||||||
3 |
|
|
4 |
|
|
|||
Аналогично получаем значения углов закручивания для остальных сечений относительно О-О:
|
2 |
|
Ткр2 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
1,0 103 2 |
|
0,012 0,0632рад 3,62 |
|
|||||
G 0,1 d24 |
|
8 104 106 0,1 0,0474 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Ткр1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
0,5 103 2 |
|
0,0632 0,0376рад 2,15 |
|||||||
G 0,1 d24 |
|
8 104 |
106 0,1 0,0474 |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Отложив |
в |
|
принятом |
масштабе ординаты 1, 2, 3, 4 |
и соединив |
|||||||||||||
соседние точки отрезками прямых, получим эпюру угла закручивания сечения (рисунок 1).
Примеры с ответами
3 Растяжение сжатие
Пример № 1
Дано:
К стальному стержню приложены продольные силы (рисунок 1), F1=10 кН, F2=30 кН. Модуль упругости E 2 105 МПа Верхний конец стержня жестко закреплен в опоре, а нижний конец – свободен и его торец имеет линейные перемещения относительно верхнего конца. Длины участков ℓ1=ℓ2=1 м, ℓ3=2 м Площади поперечных сечений S1=10 см2, S2=20 см2. Сила тяжести G=0. Требуется:
-Построить эпюру продольных сил;
-Построить эпюру нормальных напряжений;
-Построить эпюру абсолютных удлинений.
Рисунок 1
Решение:
1 Эпюра продольных сил
Разобьем данную балку на 3 участка ℓ1, ℓ2, ℓ3 (рисунок 2). В каждом участке проведем сечение, приложим внутреннюю продольную силу N, и воспользуемся условием равновесия
Fiy 0
а) |
б) |
в) |
Рисунок 2
Для первого участка (рисунок 2а):
N1 F1 0
Для второго участка (рисунок 2б):
N2 F1 0
Для третьего участка (рисунок 2в):
N3 F1 F2 0
Отсюда
N1 F1 10 кН
N2 F1 10 кН
N3 F2 F1 20 кН
Откладываем значения и строим эпюру (рисунок 1).
2 Эпюра нормальных напряжений
Эпюра нормальных напряжений строится по тем же участкам что и эпюра продольных сил.
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
10 103 |
107 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Па -10МПа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 10 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
N |
2 |
|
|
10 103 |
|
0,5 107 Па -5МПа |
||||||||||||
|
|
S2 |
|
|
|
20 10 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
N3 |
|
|
|
20 103 |
|
107 |
Па 10МПа |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
20 10 4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Откладываем значения и строим эпюру (рисунок 1).
3 Эпюра абсолютных удлинений
Верхний конец балки жестко закреплен, следовательно абсолютное удлинения ∆ℓ целесообразно отсчитывать от жесткого закрепления.
|
3 |
|
N |
3 |
|
3 |
|
20 103 1 |
0,5 10 |
|
4 ì 0,05ìì |
|
|
|
|
|
2 105 106 |
20 10 4 |
|
||||||
|
|
E S2 |
|
|
|
|||||||
Абсолютное удлинения второго сечения относительно жесткой заделки будет складываться из удлинений сечения ℓ3 и сечения ℓ2 относительно закрепления балки:
|
2 |
|
|
N2 2 |
|
|
3 |
|
|
10 103 1 |
|
0,5 10 4 |
0,25 10 4 |
м 0,025мм |
|||||
|
E S |
|
|
2 105 106 20 10 4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
1 |
|
|
|
|
|
|
10 103 2 |
0,25 10 |
4 |
0,75 10 |
4 |
м 0,075мм |
|||
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 105 106 10 10 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
E S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отложив в принятом масштабе 3, 2, 1, и соединив соседние точки отрезками прямых, получим эпюру абсолютных удлинений (рисунок 1).
4 Продольный изгиб.
Пример № 1
Дано: |
|
|
|
|
|
Задача |
3. Стальной |
стержень |
длиной 2,0м |
сжимается силой |
|
F 400кН. |
Стержень имеет схему закрепления |
с |
коэффициентом |
||
приведенной |
длины 1 |
(рис.3) и |
поперечное сечение, |
показанное на |
|
рис. 4. |
|
|
|
|
|
Требуется:
- найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении
[ ] 160 МПа |
(расчет произвести последовательными приближениями, |
предварительно |
приняв величину коэффициента продольного изгиба |
0,5);
-найти числовое значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.
Рис. 4
Решение
Следуя методике решения задач такого рода, изложенной в [I, с.224-237], определим площадь S1 сечения стержня:
S1 |
F |
400 103 |
|
0,005 |
м2 |
|
|
|
|
|
|||
|
0,5 160 10 |
6 |
||||
|
[ ] |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
При реализации метода последовательных приближений целесообразно получить зависимость гибкости стержня λ от площади сечения S стержняf S . Для этого определим, прежде всего, минимальный момент инерции
сечения Jmin Jx (или |
|
Jy ); |
он будет |
равен разности |
|
|
|
моментов инерции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
квадрата со стороной а и круга диаметром |
d |
a |
|
[1, с. 82-83]. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Jmin |
|
|
|
a4 |
|
d4 |
a4 |
|
|
|
a4 |
0,08 a |
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
64 |
12 |
|
|
|
64 16 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Площадь сечения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
S a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
S |
|
1,116 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Минимальный радиус инерции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0,08 a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
min |
|
|
|
|
|
0,316 a 0,316 1,116 |
S 0,353 S |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0,8 a2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
min |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Гибкость стержня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
5,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
imin |
|
0,353 S |
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Итак, искомая зависимость λ от S получена. Вычислим
|
|
5,66 |
|
|
|
|
5,66 |
|
80,0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
S |
|
0,005 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Коэффициент φ (по табл. 10.1 из [I]) для стали 3 при 80 |
равен ' |
0,75 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Разница между и |
|
' |
|
значительная, поэтому повторим расчет, |
||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
принимая |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
0,5 0,75 |
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0,625 |
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда
S2 |
|
|
|
400 103 |
|
|
|
0,004м2 |
||||||
0,625 160 10 |
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
5,66 |
|
|
|
5,66 |
|
90 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
0,004 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
S2 |
|
|
|||||||
Коэффициент изгиба для |
90 равен ' |
0,69. |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Напряжение в поперечном сечении стержня получается при этом
|
F |
|
400 103 |
3 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
Ïà 100ÌÏà |
S2 |
0,004 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
Допускаемое же напряжение при расчете на устойчивость
[ y] 2' [ ] 0,69 160 110,4МПа.
Недонапряжение составляет
110,4 100 100% 9,4% 5% . 110,4
Делаем еще одно приближение. Вычислим
|
|
2 |
' |
0,625 0,69 |
||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
0,658, |
||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
SD |
|
400 103 |
|
|
0,0038м2, |
||||||
|
0,658 160 10 |
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
|
|
5,66 |
|
|
92. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0,0038 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Коэффициент 3' получаем, интерполируя значения φ, соответствующие
90 и 100:
3' 0,69 0,69 0,6 2 0,67 10
Напряжение
400 103 105,3МПа. 0,0038
Допускаемое напряжение
[ y ] 0,67 160 107,2МПа.
Недонапряжение
107,2 105,3 100% 1,8%
107.2
что допустимо.
Зная площадь сечения A3 0,0038м2, найдем размеры поперечного сечения стержня: сторона квадрата
a 1,116 |
A 1,116 |
0,0038 0,068ì 6,8ñì |
Диаметр отверстия
da 6,8 3,4см. 2 2
Гибкость стержня 92 меньше 100, поэтому критическую силу определим с использованием формулы Ясинского [I, с.224]:
Fкр кр A a b A 310 1,14 92 0,0038 780кН.
Коэффициент запаса устойчивости
n |
y |
|
Fкр |
|
780 |
1,95 |
|
F |
400 |
||||||
|
|
|
|