glossaryalggeom (1)

Глоссарий по алгебре и геометрии

1) Подстановка-взаимно однозначное отображение ϕ множества X ={1,2…n} на себя.

2) Цикл длины m-Подстановка вида

(При этом все числа i₁, i₂, …, i_m - различны).

3) Определителем или детерминантом n-го порядка называется число, полученное из элементов данной таблицы по следующим правилам:

1. Определитель n – го порядка равен алгебраической сумме n! членов.

2.Каждый член последовательности представляет собой произведение n – элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца таблицы.

3. Член берется со знаком плюс, если перестановки, образованные первыми и вторыми индексами элементов , входящие в произведение, одинаковой четности(либо обе четные, либо нечётное) и со знаком минус в противоположном случае.

4) Минором определителя n-го порядка называется определитель (n-1) -ого порядка полученный из А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент .

5) Алгебраическим дополнением элемента число

= .

6) Матрицей называется таблица чисел вида

А== ,

сoстоящая из m строк и n столбцов..

7) Рангом матрицы А называется наибольшее натуральное число k для которого существует не равный нулю определитель k-го порядка, порожденный матрицей А.

8) Высказыванием называется всякое суждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.

9) Элементарная сумма – формула, представляющая собой дизъюнкцию высказываний и их отрицаний.

10) Элементарное произведение – формула, представляющая конъюнкцию высказываний и их отрицаний.

11) Дизъюнктивная нормальная форма(ДНФ) – дизъюнкция элементарных произведений.

12) Конъюнктивная нормальная форма(КНФ) – произведение элементарных сумм.

13) Совершенная дизъюнктивная форма – особая дизъюнктивная нормальная форма, в которой в каждое произведение входят все переменные либо непосредственно, либо с отрицанием.

14) Наибольшим общим делителем отличным от нуля многочленов называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов.

15) Многочлены называются тождественно равными, если при всех значениях переменной их значения совпадают.

16) Конечное множество – это такое множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов.

17) Счетное множество – это такое множество, элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность: .

18) Равночисленными множествами называют два конечных множества А и В, которые имеют одинаковое количество элементов.

19) Между элементами множеств А и В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А можно по некоторому правилу поставить в соответствие один и только один элемент множества В и, наоборот, каждому элементу множества В по некоторому правилу можно поставить в соответствие один и только один элемент множества А.

20) Декартово произведение множеств - множество всех упорядоченных пар (a, b), где a ϵ A, b ϵ B, где A и B - данные множества.

21) Отношение множеств A и B – подмножество R декартова произведения A×B.

22) Бинарным отношением между двумя множествами называется соответствие элементов одного из них элементам второго.

23) Полным порядок на M называется отношение R, если оно антисимметричное, транзитивное и полное.

24) Графом Г называется непустое множество M и множество отношений, заданных на M.Обозначается Г= (M, Q), Q-множество отношений, заданных на M.

25) Отображением f множества X в множество Y называется такое соответствие, при котором каждому элементу x множества X соответствует единственный элемент y, принадлежащий Y.

26) Обратимое (взаимно однозначное) отображение множества X на Y-отображение f множества X на множество Y, при котором каждый элемент y множества Y является образом точно одного элемента x множества X.

27) Преобразование множества-обратимое отображение множества на себя.

28) Сюръекция-отображение множества A на множество B.

29) Биекция-обратимое отображение.

30) Инъекция-отображение X в множество Y такое, что каждый элемент из Y является образом не более одного элемента из X.

31) Числовая функция-правило, по которому каждому x ϵ X поставлено в соответствие единственное число y.

32) Кольцом называют непустую систему множеств R, замкнутую относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов.

33) Приведенной системой вычетов по этому модулю m называют совокупность чисел, взятых из полной системы вычетов и взаимно простых с модулем m.

34) Полной системой вычетов по модулю m называется совокупность m целых чисел, содержащая точно по одному представителю из каждого класса вычетов по модулю m.

35) Функция называется мультипликативной, если выполнены следующие условия:

1. Функция определена для всех целых положительных a и не обращается в нуль хотя бы при одном таком a;

2. Для любых положительных взаимно простых и имеем .

36) Равноостаточными(или сравнимыми) между собой по модулю m называют два целых числа a и b, дающих при делении на натуральное число m один и тот же остаток: ,, 0≤r<m называются. Обозначение: читается: a сравнимо с b по модулю m.

37) Линейным порядком на множестве А называется отношение частичного порядка, при котором из любой пары элементов можно выделить предшествующий и последующий.

38) Частичный порядок – это рефлексивное, транзитивное, несимметричное отношение R на множестве A.

39) Линейным пространством над полем действительных чисел называется множество, над которым определены операции сложения и умножения на произвольное действительное число.

40) Кортежем длины n, составленным из элементов множеств , называется конечная последовательность , где для всех k () имеем . Элемент называется k-ой координатой (или k-ой координатой) кортежа .

41) Размещениями с повторениями из m элементов по k называют кортежами длины k составленные из элементов m – элементного множества X.

.

42) Размещениями без повторений из m элементов множества X по k называют упорядоченное множество длины k составленное из элементов m – элементарного множества X и обозначают .

Число размещений без повторений из m элементов по k находится по формуле:

.

43) Перестановками без повторений из m элементов называют размещения без повторений из этих элементов по m. Число перестановок из m элементов обозначают и находятся по формуле:

.

44) Сочетаниями без повторений из элементов этого множества по k называют k – элементные подмножества m – элементного множества X. Их число обозначают и обозначают:

.

45) Перестановкой с повторениями состава из букв называют любой кортеж длины , в который буква входит раз, …, а буква входит раз. Число таких перестановок обозначают ..

46) Сочетаниями с повторениями из m элементов по k - набор, состоящий из k – элементов и предметов m видов. Число сочетаний с повторениями из m элементов по k обозначим :

.

47) Базисный минор - минор, не равный нулю, а окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо отсутствуют.

48) Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной СЛАУ называется базис этой системы столбцов.

49) Линейный порядок на множестве А – отношение частичного порядка, при котором из любой пары можно выделить предшествующий и последующий.

50) Комплексное число z – выражение вида z=x+iy-алгебраическая форма комплексного числа .

51) Проекция вектора на ось это число, равное длине вектора , взятое со знаком «+», если направление совпадает с направлением и со «-», если направление не совпадает с направлением . – проекция на ось ,-проекция на ось .

52) Полярная система координат на плоскости — это совокупность точки , называемой полюсом, и полупрямой , называемой полярной осью.

53) Полярными координатами произвольной точки M (относительно заданной системы) называются ρ = OP и θ = ‹NOP (рисунок 7). Угол θ при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число ρ называется полярным радиусом, число θ – полярным углом точки M.

54) Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а₁, а₂, а₃ называется правой, если наблюдателю, находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами, кратчайшие повороты от а₁ ка₂ и от а₂ к а₃ кажутся происходящими против часовой стрелки. Если повороты происходят по часовой стрелке, то тройка – левая.

55) Аффинными координатами любой точки М называются координаты вектора, определяемые относительно базиса.

56) Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F₁ и F₂ этой плоскости, называемых фокусами, величина постоянная.

57) Эксцентриситетом эллипса называется отношение , где с- половина расстояния между фокусами, a – большая полуось эллипса.

58) Директрисами эллипса называются две прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии от него.

59) Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек F₁ и F₂ равен 2a, Точки F₁ и F₂ называются фокусами гиперболы; 2a - действительная ось.

60) Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, расстояние которых до некоторой точки, называемой фокусом и до некоторой прямой, называемой директрисой, не проходящей через фокус, равны.

61) Окружность — это линия на плоскости, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от центра окружности.

62) Поверхность второго порядка – поверхность, которая в прямоугольной системе координат определяется алгебраическим уравнением второй степени.

63) Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением: .

64) Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением: .

65) Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением: .

66) Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением: .

67) Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением: , где p>0, q>0.

68) Гиперболическим гиперболоидом называется поверхность, которая в декартовой прямоугольной системе координат задается уравнением , где p>0, q>0.

69) Алгебраической операцией, определенной в М будем называть функцию f, которая каждой упорядоченной паре элементов a,bM ставим в соответствие некоторый определенный элемент c М.

70) Группоидом называется множество с одной алгебраической операцией, на которую не налагается никаких условий.

71) Полугруппами называются группоиды с ассоциативной операцией.

72) Группа – это множество замкнутое относительно одной ассоциативной алгебраической операции, содержащее единичный элемент и такой, что для каждого ее элемента а существует обратный элемент, который удовлетворяет равенству.

73) Абелевой группой называется группа, в которой умножение коммутативно.

74) Конечная группа – группа, состоящая из конечного числа элементов, число ее элементов называется порядком группы.

75) Симметрической группой n-й степени называется группа всех подстановок множества, состоящего из n элементов.

76) Изоморфными группами G и G' называют группы, между элементами которых можно установить такое взаимно однозначное соответствие, так, что если аа' и b b', где а, b G ,а' ,b' G', то abа' b'.

77) Автоморфизмом группы G называют изоморфное отображение φ: G G группы G на себя ,положив, G'= G в определении изоморфизмами.

78) Гомоморфизмом называется отображение f^:: GG' группы (G,) в (G',), если а,bG f (a b)=f(a) f(b).

79) Кольцом называется (К,+,),если К – не пустое множество, на котором заданы две бинарные алгебраические операции «+» (сложение) и «» (умножение), удовлетворяющие следующим условиям:

1). (К, +) – абелева группа;

2). (К,) – полугруппа;

3). операции (+) и () связаны дистрибутивными законами (другими словами, умножение дистрибутивно по сложению).

(a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb a,b,cК.

80) Подкольцом называется подмножество L кольца К, если х,уLх-уL, хуL, то есть если L подгруппа аддитивной группы и подполугруппа мультипликативной полугруппы кольца.

81) Поле Р – это коммутативное кольцо с единицей (10) в котором каждый элемент обратим а0.

82) Простое поле – поле, не обладающее никаким собственным подполем.

83) Отношением эквивалентности (эквивалентностью) называют отношение Р, если Р рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обозначение Е или ~ (тильда).

84) Линейной функцией называется функция , если: a) (условие аддитивности). б) (условие однородности).

85) Билинейной функцией называется числовая функция двух векторных аргументов , если она линейна по каждому аргументу. То есть:

Здесь – любые векторы пространства – произвольное число.

86) Положительно (отрицательно) определённой квадратичной формой называется квадратичная форма A, определённая в действительном линейном пространстве , если:

∀ ,

A > 0 (A <0).

87) Нормальным видом квадратичной формы называется сумма квадратов нескольких неизвестных с коэффициентами +1 или -1.

88) Ортогональной квадратичной матрицей называется квадратичная матрица , если ее элементы действительны и выполняется одно из пяти следующих эквивалентных свойств:

1. Строки образуют ортонормированную систему;

2. Столбцы образуют ортонормированную систему;

3. ;

4. ;

5. – транспонированная матрица для .

89) Сигнатурой формы f называется разность между положительным и отрицательным индексами инерции.

90) Положительным(отрицательным) индексом инерции формы f называется число положительных (отрицательных)квадратов в той нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма.

91) Скалярным произведением называют отображение , где V – вещественное или комплексное линейное пространство, удовлетворяющее следующим аксиомам :

;

1. 

2. (

3. 

4. 

5. 

92) Евклидовым пространством E называют вещественное, линейное пространство со скалярным произведением.

93) Унитарным пространством V называют комплексное, линейное пространство со скалярным произведением.

94) Изоморфными линейными пространствами называют два линейных пространства V и U, если между их элементами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, выполняемое условием:

Сумме векторов линейного пространства U соответствует сумма соответствующих векторов линейного пространства V.

95) Изоморфными линейными евклидовами пространствами называют линейные евклидова пространства , если между их векторами можно установить такое взаимно однозначное соответствие, такое, что выполняется следующее требование:

1) Это соответствие является изоморфным соответствием между , которые в свою очередь рассматриваются как линейные пространства.

2) При этом соответствии сохраняется скалярное произведение, то есть, если образами из Е служат соответственно

из Е΄, то .

96) Верхней границей действительных корней многочлена называют число K, если он не имеет действительных корней больших или равных K.

97) Интерполирующей или интерполяционной функцией для на отрезке [a,b] называется функция f(x), если ее значения в заданных точках , называемых узлами интерполяции, совпадают с заданными значениями функции φ(x), то есть с соответственно.

98) Симметрическим многочленом называют многочлен от x и y, если он не изменяется при замене x на y, а y на x.

99) Элементарными симметрическими многочленами от x и y называют симметрические многочлены x+y и xy. Обозначают: и .

100) Матричным многочленом называется выражение вида , где 𝛌 – переменная, а …,- квадратные коэффициенты матрицы с числовыми коэффициентами.

101) Метрическим пространством называется множество , если определено отображение которое для ставит в соответствие число 𝛒 ,удовлетворяющее следующим аксиомам:

102) Аннулирующим многочленом для квадратной матрицы A порядка n называется многочлен с числовыми коэффициентами, для которого .

103) Минимальным многочленом квадратной матрицы A порядка n называется отличный от нуля аннулирующий многочлен для матрицы A минимальной степени, взятой со старшим коэффициентом равным 1.

104) Нормой в векторном пространстве E называется отображение , удовлетворяющее следующим аксиомам:

105) Преобразование множества – это биективное отображение множества на себя.