Размерность векторного пространства и его базис.

Определение. Базисом ненулевого векторного пространстванадполем

называется система векторов, которая

1. порождаетV,

2. линейно независима.

Теорема. Ненулевое векторное пространство V всегда обладает базисом. Иными словами, V является свободнымF-модулем.

Определение. Размерностью ненулевого векторного пространства называетсямощностьего базиса. Для нулевого векторного пространстваполагают, что его размерность равна нулю. Размерность векторного пространстванад полемобозначается через.

Определение. Говорят, что пространство конечномерно, если или базиссостоит из конечного числа векторов. В противном случае говорят, что онобесконечномерно.

Пример 1.  Поле действительных чиселR является бесконечномерным векторным пространством над полем рациональных чиселQ..

Пример 2.  Поле комплексных чиселC является двумерным вещественным векторным пространством.

Пример 3.  Произвольное поле F  является одномерным векторным пространством над собой с базисом 

Предложение. Для конечномерного векторного пространства набор векторов является базисом, если каждый векторединственным образом представляется в виде.

Определение. Пусть — базис, и. Скалярыназываютсякоординатами вектора в данном базисе.

Пример 4. Пусть — поле, и—-мерное координатное пространство. Векторысоставляют базис.

Переход от одного базиса к другому

Пусть —-мерное векторное пространство над полемF с некоторыми базисами и

Векторы одного базиса можно выразить через векторы другого:

.

Определение.  Матрица, определенная коэффициентами вышеприведенного разложения

называется матрицей перехода от базиса к базису.

Замечание. Координаты вектора относительно базисаобразуют

j-й столбец матрицы .

Предложение 3. Пусть вектор имеет координатыв базисеи координатыв базисе. При переходе от базисак базисукоординаты векторав новом базисе выражаются через координаты в старом базисе по формуле:

,

,

где   — матрица, обратная кA.

Координаты вектора

Для каждого вектора существуют числа   такие, что

Числа  называются координатами вектора  в базисе (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

=(  

Справедливы формулы:

1. 

2. 

3. 

Изоморфизм пространств

Теорема. Два конечномерных пространства L и M над полем K изоморфны тогда и только тогда, когда у них одинаковые размерности.

Доказательство.

Изоморфизм l: L→M сохраняет все свойства, формулируемые в терминах линейных комбинаций. В частности, он переводит любой базис L в некоторый базис M, так что размерности L и M совпадают.

Наоборот, пусть размерности L и M равны n. Выберем базисы в L и M соответственно. Формула

определяет линейное отображение L в M. Оно является биекцией, ибо формула

Определяет обратное линейное отображение _.

Замечание. Если даже изоморфизм между двумя линейными пространствами L и M существует, он однозначно определен только в двух случаях :

1. L=M={0},

2. L и M одномерны, а K – поле из двух элементов.

Во всех остальных случаях имеется много (если K бесконечно, то бесконечно много) изоморфизмов. В частности, имеется много изоморфизмов пространства L с самим собой.