Подставляя (19) в (18) получим основное уравнение поправок:

PV²min, (20)

применение которого поясним на примере определения вероятнейшего значения величины X, при ее измерении с различной точностью. Так какV_i = X_ср – X_i, то, используя уравнение (20 ), можно записать:

f_(x) = P_i(X_ср – X_i)²  min. (21)

Минимум функции (21) достигается приравниванием производной нулю и вычислением значений функции в критических точках. Дифференцируя (21) и выполнив несложные преобразования, получим уравнение, для средевесового значения:

X_срP_i = P_i X_i. Или(22)

1.6. Практическая реализация способа наименьших квадратов

1.6.1. Способ полигонов

Для создания съемочного обоснования используют результаты измерений горизонтальных углов и расстояний в теодолитных ходах и превышений в нивелировании пятого класса. Причем углы и расстояния в теодолитных ходах и превышения, уравниваются раздельно. Конечным результатом уравнивания являются координаты и отметки точек теодолитных ходов. С этих точек выполняют тахеометрическую съемку и составляют план участка местности для проектирования мостовых переходов или транспортных тоннелей.

Уравнивание углов. Исходные данные.Допустим, что имеет место свободная сеть из четырех полигонов представленная на рис. 7. В каждом полигоне (см. рис 7. № полигона – число в окружности) и на каждой точке измерены горизонтальные углы и установлены угловые невязкиW₁,W₂,W₃,W₄, как функции суммы углов в каждом полигоне (см. рис. 7):

Полигон 1, W₁= – 180(n₁– 2),n₁= 7, (ri(j) = 8).

Полигон 2, W₂= – 180(n₂– 2),n₂= 8, (ri(j) = 9). (23)

Полигон 3, W₃= – 180(n₃– 2),n₃= 7, (ri(j) = 9).

Полигон 4, W₄= – 180(n₄– 2),n₄= 6, (ri(j) = 9),

где n₁,n₂,n₃,n₄– количество углов, соответственно, в полигонахi= 1, 2, 3, 4;

ri(j) = количество углов вj-м ходеi-о полигона.

Причем сумма невязок смежных полигонов равна невязке полигона составленного из внешних ходов (звеньев).

W₁+W₂+W₃+W₄=W_(1,2,3,4). (24)

Каждая невязка отдельного полигона или их сумма сопоставляется с допустимой вычисляемой по формуле (3). Уравнивание выполняется только в том случае, если фактические невязки в полигонах не превышают допуска. В противном случае необходимо выполнить повторное измерение углов.

Требуется определить вероятнейшие значения поправок в каждый угол сети полигонов.

Решение.Так как углы в полигонах измерены с одинаковой точностью, то поправки в каждый измеренный угол должны быть одинаковыми. Однако наличие узловых точек затрудняет упрощенное определение поправок.

При уравнивании углов в сети полигонов назначают узловые линии, между которыми формируют отдельные разомкнутые теодолитные хода. Причем узловые линии должны обязательно примыкать к узловым точкам (см. рис. 7). В нашем примере за узловые линии примем следующие направления: В – А – исходное направление с известным дирекционным углом и узловые линии между точками 9 – 10, 5 – 6, 2 – 3 и 12 – 13. Для всех ходов между узловыми направлениями сформируем разомкнутые хода (см. рис. 7 - № хода – число в прямоугольнике) и установим суммы углов.

Ход 1: В, А, 11, 10, 9, количество углов – r₁= 3,,

Ход 2: 10, 9, 8, 7, 6, 5, количество углов – r₂= 4,,

Ход 3: 6, 5, 4, 3, 2, количество углов – r₃= 3,,

Ход 4: 3, 2, 1, А, В, количество углов – r₄= 3,,

Ход 5: В, А, 15, 12, 13, количество углов – r₅= 3,,

Ход 6: 10, 9, 13, 12, количество углов – r₆= 2,,

Ход 7: 13, 12, 16, 5, 6, количество углов – r₇= 3,,

Ход 8: 13, 12, 14, 2, 3, количество углов – r₈= 3,,

где r_j–количество углов вj-м теодолитном разомкнутом ходе.

Как известно угловая невязка в разомкнутом теодолитном ходе подсчитывается по формуле (2), которая в данном случае должна быть определена из совместного уравнивания всех сформированных ходов. Для каждого j-о хода и в каждомi-м полигоне определим весовой коэффициент по формуле:

Рис. 7. Схема сети теодолитных ходов

. (25)

Данные вычислений поместим в таблицу (см. табл. 1). Причем сумма весов в i-м полигоне должна быть равна единице (см. табл. 1), то есть

. (26)

Вычисление поправок для каждого хода выполняют по формуле:

V_j(i) = P_j(i)W_i.. (27)

Таблица 1

Вычисление весовых коэффициентов для разомкнутых ходов

№№ ходов (J)	Зачения весовых коэффициентов в полигонах (i)
	Полигон 1	Полигон 2	Полигон 3	Полигон 4
1	3/8 = 0,38
2		4/9 = 0.45
3			3/9 = 0.34
4				3/9 = 0.34
5	3/8 = 0.37			3/9 = 0.33
6	2/8 = 0.25	2/9 = 0.22
7		3/9 = 0.33	3/9 = 0.33
8			3/9 = 0.33	3/9 = 0.33
	1.00	1.00	1.00	1.00

Уравнивание измеренных расстояний и вычисление координат.