Расчет погрешностей

Погрешность определения коэффициента передачи для цепи, содержащей два резистора, оценить по формуле:

где . Здесь учтено, что в нормальных условиях применения осциллографа погрешность измерения напряжения не превышает 5%.

Погрешность косвенных измерений

Погрешность измерения С определить, суммируя случайную и приборную погрешность, по (П.11):

Погрешность определения углового коэффициента подсчитать как погрешность линеаризации методом наименьших квадратов (приложение), считая, а. Результат представить в виде:

.

Погрешность измерения L определить, суммируя случайную и приборную погрешность, по (П.11):

Погрешность определения углового коэффициента подсчитать как погрешность линеаризации методом наименьших квадратов (приложение), считая, а. Результат представить в виде:.

Лабораторная работа 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

В КОЛЕБАТЕЛЬНОМ КОНТУРЕ

Цель работы: изучение параметров и характеристик колебательного контура.

Основные теоретические положения

Е

Рис. 5.1.

Колебательный контур

сли зарядить конденсатор от батареи до напряженияV₀ (рис. 5.1), а затем повернуть переключатель К, то конденсатор начнет разряжаться через катушку и в контуре возникнут электромагнитные колебания. Рассмотрим, как происходят эти колебания в контуре, сопротивление которого R = 0. При замыкании контура в нем появляется ток I, создающий магнитное поле. Изменение магнитного поля тока приводит к возникновению в цепи электродвижущей силы самоиндукции E_i, замедляющей быстроту разряда. При уменьшении тока возникает электродвижущая сила, направленная в ту же сторону, что и вызвавший ее появление ток. Это приводит к тому, что после разряда конденсатора ток не прекращается сразу, а в течение некоторого времени продолжает течь в том же направлении и перезаряжает обкладки конденсатора. Затем процесс разряда начинается снова, но протекает теперь в обратном направлении. В результате вторичного перезаряда конденсатора система возвращается в исходное состояние, после чего происходит повторение тех же процессов. Время, в течение которого конденсатор заряжается и разряжается, называется периодом собственных колебаний.

В начальный момент, когда конденсатор полностью заряжен, в нем накоплена электрическая энергия: . Во время разряда конденсатора электрическая энергия превращается в энергию магнитного поля катушки и, когда конденсатор полностью разряжен, вся электрическая энергия переходит в магнитную:

,

где наибольшая величина тока в контуре.

При перезаряде конденсатора энергия магнитного поля снова превращается в энергию электрического поля. В контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания.

Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебаний расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания (рис. 5.2). При достаточно большом сопротивлении контура или малой индуктивности колебания в нем вообще не возникают, а происходит так называемый апериодический разряд конденсатора (рис. 5.3).

По второму закону Кирхгофа можно записать:

; (5.1)

. (5.2) Так как , то из соотношения (5.2) получаем:

. (5.3)

Подставив (5.3) в (5.1), получим:

(5.4)

Как известно, дифференциальное уравнение (5.4) описывает затухающие колебания. Его решение имеет вид:

, (5.5)

где коэффициент затухания:

. (5.6)

Циклическая частота затухающих колебаний определяется по формуле:

(5.7)

при этом

и (5.7')

Если (5.1) записать в виде и продифференцировать по времени, то получим уравнение того же типа, что и уравнение (5.4):из чего следует, что ток в контуре совершает затухающие колебания, для которых значения,  и Т определяются по (5.6), (5.7) и (5.7').

Из (5.7) и (5.7') следует, что в контуре возможны затухающие колебания лишь в том случае, если (частота и период – действительные величины) или. Если, то частота и период мнимые, колебаний нет, и происходит апериодический разряд конденсатора (см. рис. 5.3).

Сопротивление

(5.8)

называется критическим.

Для характеристики степени затухания колебаний, кроме коэффициента затухания , используется еще логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания колебаний называется натуральный логарифм отношения двух значений напряжения, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

(5.9)

или

. (5.9')

Подставим в (5.9) значения и, получим:

(5.10)

или согласно выражению (5.6)

. (5.10')

В

Рис. 5.4. Фазовая кривая

ряде случаев удобно изучать колебательный процесс в системе координат I и V , то есть откладывать по оси абсцисс величину тока в контуре в заданный момент времени, а по оси ординат ^__

напряжение на конденсаторе в тот же момент времени. Плоскость I носит название плоскости состояния или фазовой плоскости, а кривая, изображающая зависимость напряжения от тока, называется фазовой кривой (рис. 5.4).

Найдем фазовую кривую для контура, сопротивление которого R=0. В этом случае , и из (5.5), (5.7) и (5.7') имеем:

и ; (5.11)

; . (5.12)

Уравнения (5.12) описывают незатухающие колебания. Исключив из них время t, получим уравнение фазовой кривой:

.

Это уравнение эллипса. Эллипс получается в результате сложения двух взаимно-перпендикулярных гармонических колебаний (5.12), сдвинутых по фазе на четверть периода. В контуре, сопротивление которого R>0, происходят затухающие колебания напряжения (5.5) и тока:

. (5.13)

В этом случае амплитуды напряжения и тока в контуре непрерывно

убывают, не повторяясь через период времени, и фазовая кривая получается незамкнутой (рис. 5.4).