9.2 Характеристики систем массового обслуживания

Пусть обслуживающая система состоит из n каналов, одновременно и независимо друг от друга обслуживающих заявки. Канал может находиться в одном из двух состояний: свободном и занятом. Заявка, поступившая в систему в момент t_j, либо принимается к обслуживанию (если имеется свободный канал), либо остаётся в системе в течение некоторого времени γ (если все каналы заняты). Не позднее чем в момент времени t_j + γ заявка должна быть принята к обслуживанию, в противном случае она получает отказ и покидает систему. Обычно рассматривают три класса систем: системы с отказами (γ = 0), системы с ожиданием (γ = ∞) и смешанные системы (0 < γ < ∞).

Для характеристики канала используется величина η – время занятости канала (длительность обслуживания). В общем случае γ и η – случайные величины с заданными законами распределения. Могут быть сделаны различные предположения относительно порядка привлечения каналов к обслуживанию (в порядке номеров каналов, в порядке освобождения, в случайном порядке и т.д.), а также приёма заявок на обслуживание (в порядке очереди, по минимальному времени, оставшемуся до получения отказа, в случайном порядке и т.д.).

Показателями эффективности систем массового обслуживания служат: 1) для систем с отказами – средняя доля отказов, вероятность обслужить все заявки в течение заданного интервала времени; 2) для систем с ожиданием – среднее время ожидания, средняя величина очереди и т.д.; 3) для смешанных систем – все перечисленные величины.

Исследование систем массового обслуживания может быть выполнено аналитически при некоторых (иногда весьма существенных с практической точки зрения) предположениях относительно характера потока заявок и свойств систем обслуживания. В качестве примера можно привести наиболее элементарный случай. В n-канальную систему с отказами поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Длительность обслуживания - показательно распределённая случайная величина с конечным математическим ожиданием . Заявки принимаются к обслуживанию в порядке их номеров. Тогда, при t → ∞ значение средней доли отказов будет равно

.

(9.11)

В данном случае, в силу стационарности процесса, она также имеет смысл вероятности отказа для заявки, поступившей в произвольно выбранный момент времени. Формула (9.11) называется формулой Эрланга и является одной из немногих, справедливых и в случае произвольного распределения времени обслуживания.

Для исследования систем массового обслуживания используется также метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), реализуемый программно. Кроме того, при исследовании систем массового обслуживания полезным оказывается аппарат теории марковских процессов.

9.3 Использование теории систем массового обслуживания

Пусть имеется n-линейная система массового обслуживания, то есть система состоит из n параллельно работающих приборов. В систему поступает рекуррентный поток требований. В таком потоке интервалы между последовательно поступающими требованиями являются независимыми одинаково распределёнными случайными величинами с функцией распределения A(x). Все приборы работают независимо. Время обслуживания требования на любом приборе – случайная величина с заданной функцией распределения B(x). Требование, заставшее все n приборов занятыми, становится в общую очередь. Обслуживание производится в порядке поступления требований.

Обозначим через w(t) «виртуальное время ожидания» в момент t, определяемое следующим образом. Если бы в момент времени t в систему поступило требование, постороннее по отношению к входящему потоку, и присоединилось к общей очереди, то его время ожидания составляло бы w(t). Иначе говоря, w(t) – случайная величина, равная длительности промежутка времени от момента t до момента освобождения хотя бы одного из приборов от требований, имевшихся в системе в момент времени t. Если обозначить через v(t) число требований, находящихся в системе в момент t, то

В общем случае w(t) не является марковским процессом. Исключение будет иметь место в случае n = 1, если, к тому же, входящий поток – пуассоновский.

Введём следующие случайные величины: z_i(t), 1 ≤ i ≤ n – время с момента t до момента окончания обслуживания i­-м прибором требований, поступивших ранее момента t (если i-й прибор в данный момент времени свободен, то z_i(t) = 0); z_n+1(t) – время с момента времени t до поступления в систему очередного требования. (n + 1)-мерный случайный процесс

(9.12)

будет марковским. Траектория этого процесса ведёт себя следующим образом: z_n+1(t) убывает с единичной скоростью до того момента времени, когда она обращается в нуль; в этот момент z_n+1(t) принимает случайное значение, независимое от течения процесса и равное следующему интервалу между поступлением требований, и снова начинается убывание с единичной скоростью.

Все координаты z₁(t), z₂(t), …, z_n(t) убывают с единичной скоростью до достижения нулевого значения. Если какая либо координата обращается в нуль, дальнейшее убывание прекращается, и начиная с этого момента z_i(t) = 0. Так происходит до тех пор, пока z_n+1(t) не обратится в нуль. В этот момент общая нагрузка системы увеличивается на необходимую случайную длительность обслуживания η с функцией распределения B(x) вновь поступившего требования. Новое требование поступит в тот канал обслуживания, где придётся меньше ожидать.

Пусть . Тогда

В случае, если минимум достигается на двух или нескольких значениях j, можно условиться, что поступающее требование направляется на прибор с наименьшим номером.

Зная значение процесса z(t), можно найти значение «виртуального времени ожидания» w(t):

.

Более сложные модели систем массового обслуживанию позволяют учесть поломки в каналах обслуживания, рассмотреть различные варианты организации работы каналов обслуживания и т.д.