9 Системы массового обслуживания

Функционирование многих реальных систем носит характер обслуживания поступающих в систему заявок. Для выполнения совокупности действий и операций, подразумеваемых под понятием «обслуживание», в системе имеются специальные каналы или линии. Например, в телефонии заявками являются вызовы, возникающие на АТС в момент снятия абонентом телефонной трубки, а обслуживанием – предоставление линии, занимаемой абонентом на время разговора. На бензозаправочной станции в качестве заявок выступают автомобили, прибывающие на заправку, а каналами являются заправочные колонки. Аналогичные ситуации наблюдаются в системах посадки самолётов, разгрузки грузов, в парикмахерских, магазинах и т.д.

Изучение обслуживания отдельной заявки сводится, как правило, к выяснению того, произошло ли событие, понимаемое под словом «обслуживание», к определению длительности обслуживания (или времени занятости обслуживающего канала), оценке качества обслуживания и т.д. При обслуживании потока заявок – совокупности заявок со специальным законом чередования их во времени – возникают дополнительные задачи: определение доли обслуженных заявок и доли заявок, получивших отказ, определение относительного времени занятости и простоя каналов и т.д.

9.1 Основные понятия систем массового обслуживания

Если с точки зрения содержания обслуживания все заявки равноправны и играет роль лишь сам факт поступления или непоступления заявки в данный момент времени, поток называется потоком однородных событий. Каждая заявка в этом случае характеризуется моментом t_j поступления её в систему, а поток – последовательностью моментов t₁, t₂, …, t_k, … или законом, определяющим чередование моментов t_j.

На практике основную роль играют случайные потоки заявок. Чтобы задать случайный поток, достаточно указать совместный (многомерный) закон распределения случайных величин t₁, t₂, …, t_k, …. Для удобства часто вместо величин t_j рассматриваются интервалы ζ_j между последовательными заявками:

Описание потоков при помощи интервалов ζ_j эквивалентно заданию t_j. Действительно, зная распределение ζ_j, можно получить распределение t_j, и наоборот.

Закон распределения случайных величин ζ_j задают в виде совместных функций распределения при всевозможных значениях k ≥ 1

.

Обычно рассматриваются только непрерывные случайные величины ζ_j, описываемые функциями плотности вероятности f(z₁, z₂, …, z_k). Известно, что оперирование над многомерными распределениями отличается исключительной громоздкостью. Математическое описание оказывается более простым для некоторых важных классов потоков однородных событий.

Если совместная плотность вероятности может быть представлена в виде

,

(9.1)

то есть случайные величины ζ_j независимы, соответствующий поток называется потоком с ограниченным последействием. Если, кроме того ζ₂, ζ₃, … распределены одинаково, то поток называется рекуррентным.

Поток называется ординарным, если

,

при любом t₀, где – вероятность появления двух или более заявок в интервале времени (t₀, t₀+t).

Пусть – любой целочисленный вектор, , при этом . Определим как вероятность появления k₁ событий в интервале , …, k_n событий в интервале . Если не зависит от t₀, а определяется только величинами и , то поток называется стационарным. Для стационарных потоков справедливо равенство:

.

(9.2)

Математическое ожидание

(9.3)

представляет собой среднее значение длительности интервала времени между последовательными заявками. Для ординарного стационарного случайного потока величина

(9.4)

называется интенсивностью потока и выражает среднее число заявок, поступающих в единицу времени.

Для стационарного потока с ограниченным последействием имеет место формула Пальма

,

(9.5)

позволяющая найти распределение интервала ζ₁, если известно распределение интервалов ζ_j при j > 1.

Рассмотрим в качестве примера стационарный случайный ординарный поток с ограниченным последействием, имеющий равномерное распределение интервалов времени между заявками

,

(9.6)

Тогда

,

По формуле Пальма

.

Таким образом,

,

(9.7)

Тогда

.

Если вероятность поступления k заявок в интервале (t₀, t₀+t) не зависит от чередования событий до момента t₀, то есть если условная вероятность , вычисленная при любом предположении о чередовании событий до момента t₀, равна безусловной вероятности того же события, поток называется потоком без последействия.

Единственным стационарным ординарным потоком без последействия является так называемый простейший поток или поток Пуассона, для которого

(9.8)

или

.

(9.9)

В соответствии с формулой Пальма можно убедиться, что для простейшего потока

.

(9.10)

В общем случае такое соотношение несправедливо.