Лекция 15 - Транспортная задача

Используя найденные значения потенциалов, для каждой небазисной переменной вычисляются величины u_i + v_j – c_ij. Найденные коэффициенты, совместно с нулевыми коэффициентами для базисных переменных, фактически являются коэффициентами строки целевой функции симплекс-таблицы.

Таблица 15.11

	x11	x12	x13	x14	x21	x22	x23	x24	x31	x32	x33	x34
z	0	0	-16	4	3	0	0	0	9	-9	-9	0

Поскольку в транспортной задаче ищется минимум стоимости перевозок, в базис будет вводиться переменная, имеющая наибольший положительный коэффициент в z-строке. В данном случае это будет x₃₁.

Описанные вычисления обычно выполняются непосредственно в транспортной таблице. В этом случае нет необходимости в явном виде выписывать уравнения для потенциалов. Вычисления в транспортной таблице начинаются с присвоения потенциалу u₁ нулевого значения. Затем вычисляются v-потенциалы для всех столбцов, имеющих базисные переменные в первой строке. Далее на основании уравнения для потенциалов, соответствующего x₂₂, определяются величины потенциала u₂. Зная значения потенциала u₂, вычисляем потенциалы v₃ и v₄, что позволяет найти потенциал u₃. Поскольку все потенциалы определены, далее вычисляются величины u_i + v_j – c_ij для каждой небазисной переменной x_ij. Эти величины показаны в таблице 15.12 в левом нижнем углу ячеек транспортной таблицы.

Теперь необходимо определить переменную, включаемую в базис. Это делается следующим образом. Обозначим через θ количество груза, перевозимого по маршруту (3, 1), то есть x₃₁ = θ. Максимально возможное значение θ определяется из следующих условий:

1. должны выполняться ограничения на спрос и предложение;

2. ни по какому маршруту не должны выполняться перевозки с отрицательным объёмом грузов.

Таблица 15.12

	v1 = 10	v2 = 2	v3 = 4	v4 = 15
u1 = 0	10 5	2 10	20 -16	11 4	15
u2 = 5	12 3	7 5	9 15	20 5	25
u3 = 3	4 9	14 -9	16 -9	18 10	10
	5	15	15	15

Построим сначала замкнутый цикл, который начинается и заканчивается в ячейке (3, 1). Цикл состоит из последовательности горизонтальных и вертикальных отрезков (но не диагональных), соединяющих ячейки, соответствующие текущим базисным переменным, и ячейку, соответствующую вводимой переменной. Для любой вводимой переменной можно построить только один замкнутый цикл. Теперь можно найти значение θ. Для того, чтобы удовлетворить ограничениям по спросу и предложению, надо поочерёдно отнимать и прибавлять θ к значениям базисных переменных, расположенных в угловых ячейках цикла.

Таблица 15.13

	v1 = 10	v2 = 2	v3 = 4	v4 = 15
u1 = 0	10 5- θ	2 10+ θ	20 -16	11 4	15
u2 = 5	12 3	7 5- θ	9 15	20 5+ θ	25
u3 = 3	4 θ 9	14 -9	16 -9	18 10- θ	10
	5	15	15	15

Из таблицы 15.13 видно, что наибольшее допустимое значение для θ равно 5, при этом переменные x₁₁ и x₂₂ обращаются в 0. Поскольку из базиса исключается только одна переменная, остановим свой выбор на x₁₁. Теперь следует откорректировать значения базисных переменных, находящихся внутри цикла.

Теперь нужно снова повторить вычисление потенциалов, как показано в таблице 15.14. Новой переменной, вводимой в базис, будет x₁₄. Цикл, соответствующий этой переменной, также показан в табл. 15.14.

Таблица 15.14

	v1 = 1	v2 = 2	v3 = 4	v4 = 15
u1 = 0	10 -9	2 15 - θ	20 -16	11 θ 4	15
u2 = 5	12 -6	7 0 + θ	9 15	20 10- θ	25
u3 = 3	4 5	14 -9	16 -9	18 5	10
	5	15	15	15

В соответствии с таблицей 15.14, необходимо исключить переменную x₂₄.

Окончательное решение приведено в таблице 15.15. Все коэффициенты перед переменными в целевой функции теперь отрицательные. Поэтому можно считать, что оптимальное решение найдено.

Таблица 15.15

	v1 = -3	v2 = 2	v3 = 4	v4 = 11
u1 = 0	10 -13	2 5	20 -16	11 10	15
u2 = 5	12 -10	7 10	9 15	20 -4	25
u3 = 7	4 5	14 -5	16 -5	18 5	10
	5	15	15	15

Суммарная стоимость перевозок теперь составляет 435 долларов. Решение интерпретируется так: от элеватора 1 до мельницы 2 нужно отправить 5 зерновозов, от элеватора 1 до мельницы 4 – 10 зерновозов и т.д.