16.4 Принятие решений с использованием методов теории игр

В теории игр рассматриваются ситуации, связанные с принятием решений, в которых два разумных противника имеют конфликтующие цели. Этим игровые ситуации отличаются от ситуаций, рассмотренных ранее, в которых природа не имела целей, конфликтующих с лицом, принимающим решения.

В игре участвуют два противника, именуемых игроками, каждый из которых имеет некоторое множество (конечное или бесконечное) возможных вариантов действия (стратегий). С каждой парой стратегий связан платёж, который один из игроков выплачивает другому. Такие игры известны как игры двух лиц с нулевой суммой, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В такой игре достаточно задать результаты в виде платежей для одного из игроков. Обозначим A и B игроков с числом стратегий m и n соответственно. Игру обычно представляют в виде матрицы платежей игроку A:

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Такое представление матричной игры означает, что если игрок A применяет стратегию i, а игрок B – стратегию j, то выигрыш игрока A (проигрыш игрока B) составит a_ij.

В силу того, что игры построены на конфликте целей, в качестве оптимального решения принимается такой набор стратегий, отклонение от которого не улучшает плату тому или иному игроку. Этот набор может включать как одну, так и несколько различных стратегий. В первом случае имеем решение в чистых стратегиях, во втором – в смешанных.

Рассмотрим решение игры в чистых стратегиях. Пусть две компании, A и B, продают два вида одного и того же продукта. Компания A рекламирует свою продукцию на радио (A₁), телевидении (A₂) и в газетах (A₃). Компания B, в дополнение к использованию радио (B₁), телевидения (B₂) и газет (B₃), использует почтовые рассылки (B₄). В зависимости от качества проведения рекламной кампании, A или B могут привлечь на свою сторону часть клиентов конкурентов. В матрице платежей в этом случае указывается процент клиентов, привлечённых или потерянных компанией A.

	B1	B2	B3	B4	Мин. строк
A1	8	-2	9	-3	-3
A2	6	5	6	8	5
A3	-2	4	-9	5	-9
Макс. столбцов	8	5	9	8

Решение игры основано на достижении наилучшего результата из наихудших для каждого игрока. Если компания A выбирает стратегию A₂, то независимо от действий компании B наихудшим результатом для неё будет увеличение рынка на 5% за счёт клиентов компании B. Если же компания A выбирает стратегию A₁ или A_3­, то наихудшим результатом будет потеря 3% или 9% соответственно. Поэтому оптимальным выбором компании A будет стратегия A₂.

Оптимальную стратегию компании B можно определить аналогично. При выборе стратегии B₁ максимальная величина потерь составит 8%, B₂ – 5%, B₃ – 8%, B₄ – 8% клиентов. Компания B должна выбрать стратегию, приводяющую к наименьшим потерям, и эта стратегия – B₂.

Оптимальным решением в игре является набор стратегий A₂ и B₂, то есть обеим компаниям следует проводить рекламу на телевидении. При этом выигрыш будет в пользу компании A, её рынок увеличится на 5%. В этом случае говорят, что цена игры равна 5%, а компании A и B используют стратегии, соответствующие седловой точке. Решение, соответствующее седловой точке, гарантирует, что ни одной компании нет смысла пытаться выбрать другую стратегию.

Решение матричных игр в смешанных стратегиях может быть найдено либо графически, либо с использованием методов линейного программирования. При этом графический метод применяется для решения небольших задач, в то время как методы линейного программирования позволяют решить любую игру двух лиц с нулевой суммой. Оптимальные значения вероятности выбора той или иной стратегии игроком A x_i могут быть определены путём решения следующей максиминной задачи:

Чтобы сформулировать эту задачу в виде задачи линейного программирования положим

Отсюда

Следовательно, задача игрока A может быть записана в виде

(16.9)

Цена игры v может быть как положительной, так и отрицательной.

Для определения оптимальных вероятностей для игрока B необходимо решить следующую задачу линейного программирования:

(16.10)

Две полученные задача оптимизируют одну и ту же (не ограниченную в знаке) переменную v.