16.2 Принятие решений в условиях риска

Если решение принимается в условиях риска, то стоимости альтернативных решений обычно описываются вероятностными распределениями. По этой причине принимаемое решение основывается на критерии ожидаемого значения, в соответствии с которым альтернативные решения сравниваются с точки зрения максимизации ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых затрат. Такой подход имеет свои недостатки, которые не позволяют использовать его в некоторых ситуациях. Для них разработаны модификации метода.

Критерий ожидаемого значения сводится либо к максимизации ожидаемой (средней) прибыли, либо к минимизации ожидаемых (средних) затрат. В данном случае предполагается, что прибыль (затраты), связанная с каждым альтернативным решением, является случайной величиной. В приведённом ниже примере рассматривается простая ситуация, связанная с принятием решения при наличии конечного числа альтернатив и точных значений матрицы доходов.

Предположим, что необходимо вложить на фондовой бирже 10000 долларов в акции одной из компаний: A или B. Акции компании A являются рискованными, но могут принести 50% от суммы инвестиции на протяжении следующего года. Если условия биржи окажутся неблагоприятными, сумма инвестиции может обесцениться на 20%. Компания B обеспечивает безопасные инвестиции с 15% прибыли в случае повышения котировок и только 5% – в случае понижения. Анализ рынка свидетельствует о том, что с вероятностью 60% котировки вырастут, а с вероятностью 40% – упадут.

Эта задача может быть описана деревом решений, представленным на рис. 16.3. На этом рисунке используется два типа вершин: квадратик представляет «решающую» вершину, а кружок – «случайную». Из вершины 1 выходят две ветви, представляющие альтернативы, связанные с покупкой акций компании A или B. Далее две ветви, выходящие из «случайных» вершина 2 и 3, соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями осуществления и соответствующими платежами.

Рис. 16.3. Дерево решений для задачи инвестирования

Исходя из схемы 14.4 получаем ожидаемую прибыль C за год для каждой из двух альтернатив:

На основании этих вычислений следует принять решение об инвестициях в компанию A.

В теории принятия решений повышение и понижение котировок на биржах называют состояниями природы, возможные реализации которых являются случайными событиями (в данном случае с вероятностями 0,6 и 0,4). В общем случае задача принятия решения может включать n состояний природы и m альтернатив. Если p_j – вероятность j-го состояния природы, а a_ij–платёж, связанный с принятием решения i при состоянии природы j, то ожидаемый платёж для решения i вычисляется по формуле:

(16.1)

Наилучшим решением будет то, которое соответствует максимуму или минимуму MV в зависимости от того, является ли платёж в задаче доходом (прибылью) или убытком (затратами).

Распределения вероятностей, которые используются при формулировке критерия ожидаемого значения, получаются, как правило, из накопленной ранее информации. В некоторых случаях оказывается возможным пересчитать эти вероятности с помощью текущей или полученной ранее информации, которая получается при исследовании выборочных (или экспериментальных) данных. Получаемые при этом вероятности называются апостериорными (байесовскими), в отличии от априорных, полученных из исходной информации.

Пусть априорные вероятности 0,6 и 0,4 повышения и понижения котировок в предыдущем примере определены из финансовых публикаций. Вместо того, чтобы полностью полагаться на эти публикации, можно проконсультироваться с экспертом, который высказывает мнение «за» или «против» инвестиций. Это мнение в дальнейшем определяется следующим образом: при повышении котировок мнение с 90%-ной вероятностью будет «за», при снижении котировок вероятность мнения «за» уменьшится до 50%. Каким образом можно извлечь пользу из этой дополнительной информации?

Мнение эксперта представляет условные вероятности «за» и «против» при заданных состояниях природы в виде повышения и понижения котировок. Введём следующие обозначения: v₁ – мнение «за», v₂ – мнение «против», m₁ – повышение котировок, m₂ – понижение котировок. Мнение эксперта можно представить в виде вероятностных соотношений следующим образом:

С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом: акции каких компаний нужно покупать в случае, если эксперт высказывается «за» или «против»?

Рис. 16.4. Дерево решений с апостериорными вероятностями

Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, приведённого на рис. 16.4. Узлу 1 соответствует случайное событие (мнение эксперта) с соответствующими вероятностями «за» и «против». Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями A и B при известном мнении эксперта «за» или «против» соответственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.

Для оценки различных альтернатив, показанных на рис. 16.4, необходимо вычислить апостериорные вероятности p(m_i/v_i), указанные на соответствующих ветвях, выходящих из узлов 4-7. Эти апостериорные вероятности вычисляются с учётом дополнительной информации, содержащейся в рекомендациях эксперта, с помощью следующих действий.

Шаг 1. Вычислим вероятности совместного появления событий для всех i и j:

Сумма всех совместных вероятностей равна 1.

Шаг 2. Вычисляем абсолютные вероятности для всех j:

Шаг 3.Определяем искомые апостериорные вероятности:

Эти вероятности показаны на рис. 16.4. Они отличаются от априорных вероятностей p(m₁)=0,6 и p(m₂)=0,4. Теперь можно оценить альтернативные решения. При мнении эксперта «за»:

При мнении эксперта «против»:

То есть при мнении эксперта «за» нужно инвестировать в акции компании A, а при мнении эксперта «против» - в акции компании B.