ФГБОУ ВПО Вологодская государственная молочнохозяйственная академия им. Н. В. Верещагина

Кафедра математики и механики

Курс "ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

(экономический факультет, очная форма обучения, направление подготовки 38.03.01 "Экономика")

Индивидуальная работа 2. ¾Случайные величины¿. Разбор типовых примеров.

Автор зав. кафедрой математики и механики, доктор физ.-мат. наук

1. Дискретные случайные величины

Пример 1. В таблице 1 задан ряд распределения дискретной случайной величины .

Таблица 1.

Найти неизвестное значение p1.

Найти математическое ожидание M( ) случайной величины .

Найти моду Mo( ) величины .

Найти дисперсию D( ) и среднее квадратическое отклонение ( ) âåëè- ÷èíû .

Найти начальный 4 ( ) и центральный 4 ( ) моменты четвертого порядка величины .

Чему равна вероятность P(1 6 6 3) того, что случайная величина примет значение из отрезка [1; 3]?

1

Найти функцию распределения F (x) случайной величины и построить ее график.

Решение. Сумма вероятностей, с которыми принимает свои значения дис-

кретная случайная величина, равна единице. Другими словами, сумма чисел в нижней строке таблицы 1 равна единице:

p1 + 0; 2 + 0; 4 + 0; 1 = 1:

Отсюда p1 = 0; 3.

Математическое ожидание дискретной случайной величины находится

по формуле:

X

M( ) = xi pi;

i

ãäå xi значения величины (расположены в верхней строке таблицы 1), pi

вероятности появления соответствующих значений (расположены в нижней строке таблицы 1). В нашем случае

Ìîäà Mo( ) дискретной случайной величины определяется как значение (или несколько значений), которое принимается с наибольшей вероятностью. В нашем случае с наибольшей вероятностью P = 0; 4 принимается значение

x = 2, значит, Mo( ) = 2.

Дисперсию дискретной случайной величины можно найти по формуле:

Подставляя в (2) k = 4, значения величины и соответствующие вероятности, а также найденное в (1) значение M( ), получим:

4 ( ) = 04 0; 3 + 14 0; 2 + 24 0; 4 + 54 0; 1 = 12; 85;

4 ( ) = j0 1; 5j4 0; 3 + j1 1; 5j4 0; 2 + j2 1; 5j4 0; 4 + j5 1; 5j4 0; 1 = = 16; 5625:

2

Отрезку [1; 3] принадлежат два значения случайной величины : = 1 è

= 2. Поэтому

P(1 6 6 3) = P( = 1) + P( = 2) = 0; 2 + 0; 4 = 0; 6:

Функция распределения F (x) случайной величины определяется как

F (x) = P( 6 x);

то есть значение функции F в точке x есть вероятность того, что случайная

величина примет значение, меньшее x. Построим функцию F (x), для чего рассмотрим несколько случаев.

Åñëè x < 0, òî F (x) = 0. Действительно, событие 6 x ïðè x < 0 невозможно (ведь все значения величины больше или равны 0), следовательно, его вероятность равна 0.

Åñëè 0 6 x < 1, òî F (x) = 0; 3. Действительно, если x удовлетворяет неравенству 0 6 x < 1, òî F (x) равно вероятности события 6 x, которое может произойти только когда примет значение 0 (с вероятностью 0; 3).

Åñëè 1 6 x < 2, òî F (x) = 0; 3 + 0; 2 = 0; 5. Действительно, если x удовле-

творяет неравенству 1 6 x < 2, òî F (x) равно вероятности события 6 x, которое складывается из двух событий: первое, когда примет значение 0 (с вероятностью 0; 3); второе, когда примет значение 1 (с вероятностью 0; 2). Эти два события несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: 0; 3 + 0; 2 = 0; 5.

Åñëè 2 6 x < 5, òî F (x) = 0; 3 + 0; 2 + 0; 4 = 0; 9. Действительно, если x

удовлетворяет неравенству 2 6 x < 5, òî F (x) равно вероятности события6 x, которое складывается из трех событий: первое, когда примет значе- ние 0 (с вероятностью 0; 3); второе, когда примет значение 1 (с вероятностью 0; 2); третье, когда примет значение 2 (с вероятностью 0; 4). Эти три события попарно несовместны, поэтому вероятность их суммы равна сумме их вероятностей: 0; 3 + 0; 2 + 0; 4 = 0; 9.

Åñëè 5 6 x, òî F (x) = 1. Действительно, событие 6 x ïðè 5 6 x достоверно (ведь все значения случайной величины меньше или равны 5), следовательно, его вероятность равна 1.

Итак, функция распределения аналитически может быть записана так:

>

>

>

:

Íà ðèñ. 1 изображен график функции F (x).

3

2. Непрерывные случайные величины

Пример 2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

Построить график функции p (x).

Найти функцию распределения F (x) случайной величины .

Построить график функции F (x).

Найти вероятность P(0 < < 1) того, что случайная величина примет значение из интервала (0; 1).

Найти вероятность P(1 6 6 6) того, что величина примет значение из отрезка [1; 6].

Найти P( > 1).

Найти математическое ожидание M( ) случайной величины .

Решение. ментов.

Первый фрагмент соответствует значениям x 2 (1; 0], при этом y = 0. Это луч, идущий по оси Ox от начала координат бесконечно влево.

4

Второй фрагмент соответствует значениям x 2 (0; 3), ïðè ýòîì

y = 8x2 + 10x: 63 21

Это дуга параболы.

Третий фрагмент соответствует значениям x 2 [3; +1), ïðè ýòîì y = 0. Это луч, идущий по оси Ox бесконечно вправо от точки с координатами (3; 0).

Íà ðèñ. 2 изображен график функции p (x), построенный с помощью программы Open O ce Calc.

Ðèñ. 2.

Функция распределения F (x) связана с плотностью распределения веро-

ятности p(x) формулой

x

Z

F (x) = f(t) dt:

1

Åñëè x 6 0, òî f(t) = 0 ïðè âñåõ t 6 x è

xx

ZZ

Åñëè 0 < x < 3, òî f(t) = 0 ïðè t 6 0 è

5

Пусть 3 6 x. Тогда f(t) = 0 ïðè t 6 0;

f(t) = 8t2 + 10t 63 21

ïðè t 2 (0; 3); f(t) = 0 ïðè t > 3. В этом случае

В итоге функция распределения аналитически может быть записана так:

>

>

>

:1 ïðè x > 3:

Íà ðèñ. 3 изображен график функции p (x), построенный с помощью программы Open O ce Calc.

Ðèñ. 3.

6

P(a 6 6 b) = F (b) F (a):

В нашем случае

Вероятность P(a < < b) того, что непрерывная случайная величина принимает значения из интервала (a; b), находится по формуле (6). В нашем случае

P( > 1) = P(1 < < +1) = F (+1) F (1) =

Математическое ожидание M( ) случайной величины находится по формуле

Подставляя из условия плотность распределения вероятности, получаем

Ответ. График функции p (x) изображен на рис. 2; функция распределения

7