1) Первое уравнение Максвелла

Оно является обобщением закона электромагнитной индукции ,

и в интегральной форме имеет следующий вид

(15-15)

и утверждает, что с переменным магнитным полем неразрывно связано вихревое электри­ческое поле , которое не зависит от того находятся в нем проводники или нет. Из (15-13) следует, что

. (15-16)

Из сравнения (15-15) и (15-16) находим, что

(15-17)

Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

2) Ток смешения. Второе уравнение Максвелла

Максвелл обобщил закон полного тока предположив, что переменное электрическое поле, также как и электрический ток, является источником магнитно­го поля. Для количественной характеристики "магнитного действия" переменного электри­ческого поля Максвелл ввел понятиетока смещения.

По теореме Гаусса - Остроградского поток электрического смешения сквозь замкну­тую поверхность

Продифференцировав это выражение по времени, получим для неподвижной и недеформируемой поверхности S

(15-18)

Левая часть этой формулы имеет размерность тока, который, как известно, выражает­ся через вектор плотности тока

. (15-19)

Из сравнения (15-18) и (15-19) следует, что имеет размерность плотности тока: А /м². Максвелл предложил назвать плотностью тока смещения:

. (15-20)

Ток смещения

. (15-21)

Из всех физических свойств, присущих действительному току (току проводимости), связанному с переносом зарядов, ток смешения обладает лишь одним: способностью соз­давать магнитное поле. При "протекании" тока смещения в вакууме или диэлектрике не вы­деляется тепло. Примером тока смещения может служить переменный ток через конденсатор. В общем случае токи проводимости и смещения не разделены в пространстве и мож­но говорить о полном токе, равном сумме токов проводимости и смещения:

(15-22)

С учетом этого Максвелл обобщил закон полного тока, добавив в правую часть его ток смешения

. (15-23)

Итак, второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:

. (15-24)

Из (15-13) следует, что

. (15-25)

Из сравнения (15-24) и (15-25) находим, что

. (15-26)

Это и есть второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

3)Третье и четвертое уравнения Максвелла

Максвелл обобщил теорему Гаусса - Остроградского для электростатического поля. Он предположил, что эта теорема справедлива для любого электрического поля, как стационарного, так и переменного. Соответственно, третье уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид:

. (15-27)

или . (15-28)

где - объемная плотность свободных зарядов, [ ] = Кл / м³

Из (15-12) следует, что

. (15-29)

Из сравнения (15-28) и (15-29) находим,что

. (15-30)

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах имеет

следующий вид:

, (15-31)

. (15-32)