инд. задание 1
.doc.
3. а) ; б) .
4. .
5. 6. .
7. ; ; ; .
Варіант 24
1. ; . 2. ;
.
3. а) ; б) .
4..
5.
6. .
7. ; ; ; .
Варіант 25
1. ; 2. ;
.
3. а) ; б) .
4.. 5. 6. .
7. ; ; ; .
Варіант 26
1. ; . 2. ;
.
3. а); б) .
4..
5. 6. .
7. ; ; ; .
Варіант 27
1. ; . 2. ;
.
3. а) ; б) .
4. . 5.
6. .
7. ; ; ; .
Варіант 28
1. ; . 2. ;
.
3. а) ; б) .
4. .
5. 6. .
7. ; ; ; .
Варіант 29
1. ; . 2. ;
.
3. а) ; б) .
4. .
5. 6. .
7. ; ; ; .
Варіант 30
1. ; . 2. ;
.
3. а) ; б) .
4..
5.
6. .
7. ; ; ; .
Зразок виконання індивідуального завдання з теми
“Елементи лінійної та векторної алгебри”
Приклад 1. Дано дві матриці та . Знайти: а) ; б) ; в) .
Розв’язок. а) Знайдемо спочатку та множенням кожного елемента матриць на відповідний множник:
, ,
а їх сума знаходиться поелементно, тобто додаються елементи з однаковими номерами:
.
б) Множення матриці (вимірності ) на матрицю (вимірності ) можливо, коли кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої. Елементи матриці , яка є добутком на , знаходимо за формулою:
,
де ;
.
Отже, маємо:
.
в) Знайдемо спочатку визначник квадратної матриці за правилом трикутника:
.
Оскільки визначник матриці не дорівнює нулю, то для неї існує обернена матриця , яка знаходиться за формулою:
,
де – алгебраїчні доповнення елементів транспонованої матриці .
Алгебраїчні доповнення знаходяться за формулою:
,
де – мінори елементів .
Запишемо транспоновану матрицю , для якої далі знайдемо алгебраїчні доповнення, та одержимо обернену матрицю :
.
;
; ;
; ; ;
; ; .
.
Перевіримо правильність її знаходження. Відомо, що та , де – одинична матриця. Дійсно,
,
аналогічно, .
Приклад 2. Знайти визначник : а) розклавши його за елементами другого рядку; б) методом ефективного зниження порядку.
Розв’язок. а) Обчислимо визначник, розклавши його за елементами 2-го рядку
.
; ; ; .
.
б) Користуючись основними властивостями визначників, можна звести обчислення визначника 4-го порядку до обчислення лише одного визначника 3-го порядку (замість чотирьох), якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця), крім одного, зробити рівними нулю – “метод ефективного зниження”.
Отримаємо нулі, наприклад, у третьому стовпці. Перший рядок залишимо без зміни. До елементів другого рядку додамо відповідні елементи першого, помножені на – 3. До елементів третього рядку додамо відповідні елементи першого, помножені на – 2. До елементів четвертого рядку додамо відповідні елементи першого.
можна й далі, користуючись цим методом, знижувати порядок визначника до 2-го і навіть до 1-го:
.
Приклад 3. Розв’язати систему рівнянь : а) матричним способом; б) за формулами Крамера; в) методом Жордану – Гаусса.
Розв’язок. Перевіримо сумісність даної системи за теоремою Кронекеру – Капеллі, для чого, користуючись методом нулів та одиниць, знайдемо ранг матриці системи та ранг розширеної матриці:
.
Таким чином, , система сумісна та має єдиний розв’язок.
а) Розв’язок системи матричним методом виконується за формулою:
.
Знайдемо обернену матрицю системи:
;
;
.
Тобто розв’язок системи: , і . Перевіримо правильність розв’язання, для чого підставимо знайдені корені, наприклад, у друге рівняння системи:
, .
б) За формулами Крамера (тут – визначник матриці системи, – визначник, який утворюється з визначника системи в результаті заміни -го стовпця на стовпець правих частин ).
; ; ;
знаходимо: ; ; .
в) Суть методу Жордану – Гаусса полягає в послідовному виключенні невідомих з усіх рівнянь окрім одного, провідного, і в приведенні системи до “трикутного вигляду”.
Коефіцієнти при невідомих, вільні члени та суми усіх коефіцієнтів кожного рядка (останній контрольний стовпчик таблиці) запишемо у таблицю Гаусса:
-
1
1
3
0
5
2
-1
2
3
6
-1
-2
-1
1
-3
Нехай провідним стовпцем буде стовпець при , а провідним елементом буде (його взято в рамку), коефіцієнт при невідомій в цьому випадку дорівнює одиниці і тому не треба робити додаткових обчислень. Після перетворень маємо:
-
1
1
3
0
5
0
-3
-4
3
- 4
0
-1
2
1
2
Для контролю правильності перетворень просумуємо елементи кожного рядка, які стоять у перших чотирьох стовпцях, і порівняємо з елементом у останньому стовпці. Якщо вони співпадають, усі перерахування зроблено правильно.
-
1
1
3
0
5
0
1
4/3
-1
4/3
0
-1
2
1
2
1
0
5/3
1
11/3
0
1
4/3
-1
4/3
0
0
10/3
0
1 0/3
1
0
5/3
1
11/3
0
1
4/3
-1
4/3
0
0
1
0
1
1
0
0
1
2
0
1
0
-1
0
0
0
1
0
1
Отже , , . Як бачимо, незалежно від методу розв’язання, одержано той самий результат.
Приклад 4. Перевірити на сумісність систему рівнянь
і у разі сумісності розв’язати її.
Розв’язок. Перевіримо на сумісність дану систему рівнянь:
.
-
1
-2
-1
1
0
0
-2
-3
2
0
0
1
-1
0
9
11
-3
1
0
0
1
-1
-16
-18
2
2
1
-1
0
1
23
28
1
-2
-1
1
0
0
-2
-3
0
4
2
-1
-1
0
13
17
0
-5
-3
3
1
-1
-22
-27
0
6
3
-3
0
1
27
34
1
-2
-1
1
0
0
-2
-3
0
-1
-1
2
0
-1
-9
-10
0
-5
-3
3
1
-1
-22
-27
0
6
3
-3
0
1
27
34
1
-2
-1
1
0
0
-2
-3
0
5
2
-1
0
0
18
24
0
1
0
0
1
0
5
7
0
6
3
-3
0
1
27
34
1
0
-1
1
2
0
8
11
0
0
2
-1
-5
0
-7
-11
0
1
0
0
1
0
5
7
0
0
3
-3
-6
1
-3
-8
1
0
1
0
-3
0
1
0
0
0
-2
1
5
0
7
11
0
1
0
0
1
0
5
7
0
0
-3
0
9
1
18
25