Індивідуальні завдання з теми “Функції багатьох змінних”
1. Знайти та зобразити область визначення функції.
2. Знайти частинні
похідні першого та других порядків,
переконатися, що змішанні частинні
похідні другого порядку
та
рівні, записати повні диференціали
першого та другого порядків функції.
3. Дано функція
і точки
та
.
Знайти похідну цієї функції в точці
за напрямком
та
.
4. Знайти локальний екстремум функції.
Варіант 1
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 2
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 3
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 4
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 5
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 6
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 7
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 8
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 9
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 10
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 11
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 12
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 13
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 14
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 15
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 16
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 17
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 18
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 19
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 20
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 21
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 22
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 23
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 24
1.
.
2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 25
1.
.
2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 26
1.
.
2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 27
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 28
1.
. 2.
.
3.
;
;
. 4.
.
Варіант 29
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Варіант 30
1.
. 2.
. 3.
;
;
. 4.
.
Зразок виконання індивідуального завдання з теми “Функції багатьох змінних”
Приклад
1. Знайти
та зобразити область визначення функції
.
Розв’язок.
Дана
функція визначена при
,
звідки
.
Зобразимо область визначення функції
(рис. 2).
y
0 2 x
-2
Рис. 2. Область визначення функції
Область
визначення функції
знаходиться вище прямої
,
причому точки прямої до області визначення
не входять. Це можна записати у виді
.
Приклад 2.
Задано функцію двох змінних
.
Знайти частинні похідні першого та
других порядків, переконатися, що
змішанні частинні похідні другого
порядку
та
рівні. Записати повні диференціали
першого та другого порядків.
Розв’язок.
Обчислюючи
частинні похідні першого порядку за
однією змінною (
чи
),
будемо користуватися правилами
диференціювання функції однієї змінної,
вважаючи при цьому іншу змінну сталою.
;
.
Запишемо повний диференціал першого порядку:
.
Знайдемо частинні похідні другого порядку.
;
;
;
.
Як
бачимо, змішані похідні другого порядку
рівні:
.
Запишемо повний диференціал другого порядку:
.
Приклад
3.
Дана функція
.
Знайти похідну цієї функції в точці
за напрямком
,
де
та
.
Розв’язок. Знайдемо частинні похідні функції:
, 
,
тоді
.
Знайдемо
напрямні косинуси вектора
:
,
,
,
.
Оскільки похідна за напрямком знаходиться
за формулою
,
запишемо шукану похідну:
.
Приклад 4. Знайти локальний екстремум функції
.
Розв’язок. Знайдемо частинні похідні функції:
; 
.
Знайдемо
критичні точки, для цього розв’яжемо
систему рівнянь
,
з якої знайдемо координати критичної
точки:
.
Далі
знайдемо другі частинні похідні, які
позначимо як
;
та
:
; 
; 
.
Значення
,
та
у критичній точці
;
;
.
Знайдемо
значення
у точці
:
.
Згідно
з достатньою умовою робимо висновок
про те, що точка
є точкою екстремуму функції, причому
точкою максимуму (тому що
).
Екстремальне
значення функції:
.