Зразок виконання індивідуального завдання з теми “Границя функції. Диференціальне числення функції однієї змінної”

Приклад 1. Знайти границі: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Розв’язок. а) .

б) При маємо невизначеність вигляду (частка двох нескінченно великих величин). Щоб розкрити цю невизначеність, винесемо змінну , наприклад, у найвищому степені із багаточленів чисельника та знаменника. У нашому прикладі цей степень дорівнює 3. Далі у чисельнику та знаменнику скорочується. Користуючись теоремою про зв’язок нескінченно великих та нескінченно малих величин, одержимо:

.

в) При безпосередній підстановці граничного значення змінної () маємо невизначеність вигляду (частка двох нескінченно малих). Щоб розкрити цю невизначеність, розкладемо чисельник і знаменник на множники, один з яких прямує до нулю – в нашому випадку :

.

г) При безпосередній підстановці граничного значення змінної () маємо невизначеність вигляду (частка двох нескінченно малих). Щоб розкрити цю невизначеність, треба позбутися ірраціональності в чисельнику, для цього треба помножити чисельник на спряжений множник та “скомпенсувати” це множенням і знаменника на той самий множник:

д) При безпосередній підстановці граничного значення змінної () маємо невизначеність вигляду (частка двох нескінченно малих). Щоб розкрити цю невизначеність, можна скористатися теоремою про еквівалентні нескінченно малі величини і замість функцій та записати їхні еквівалентні функції:

.

е) Щоб знайти дану границю, скористаємося другою визначною границею. Зробимо перетворення виразу, що знаходиться у дужках:

.

Далі, користуючись теоремами про границі, знайдемо:

.

Приклад 2. Знайти похідні: а) ;

б) ; в) ; г) .

Розв’язок. а) Знайдемо похідну від складної функції: спочатку знайдемо похідну від степеневої функції, а потім похідну від виразу, що стоїть у дужках:

.

б) Треба знайти похідну від добутку.

.

в) Знайдемо похідну від складної функції: знайдемо похідну від степеневої функції і помножимо її на похідну від частки:

.

г) Щоб знайти похідну від показниково-степеневої функції, необхідно прологорифмувати цю функцію. Користуючись властивостями логарифму, винесемо степінь логарифму перед логарифмом і знайдемо логарифмічну похідну від добутку. І, нарешті, запишемо похідну , помноживши на “” ліву та праву частини логарифмічної похідної:

.

Приклад 3. Знайти похідні першого та другого порядків функцій:

а) ; б) .

Розв’язок. а) Знайдемо похідну від неявно заданої функції: при цьому похідну від беремо за правилами диференціювання складної функції. Маємо:

, звідки .

Диференціюємо обидві частини передостанньої рівності:

, звідки

,

.

б) Знайдемо похідні параметрично заданої функції за формулами

та .

.

.

Приклад 4. Користуючись правилом Лопіталя, обчислити границі:

а) ; б) .

Розв’язок. а) При безпосередній підстановці граничного значення незалежної змінної одержимо невизначеність вигляду . Функції чисельника та знаменника задовольняють умовам правила Лопіталя, тому для розкриття вказаної невизначеності можна скористатися правилом Лопіталя:

.

б) При безпосередній підстановці граничного значення незалежної змінної одержимо невизначеність вигляду . Виносимо першу функцію за дужку. Перевіримо, що границя функції, яка записана у дужках, дорівнює нулю, тоді одержимо невизначеність вигляду , для розкриття якої треба одну з функцій залишити в чисельнику, а обернену до другої записати в знаменник, тоді ми одержимо невизначеність вигляду: чи , яку (при умові, що функції чисельника та знаменника задовольняють умовам правила Лопіталя) можна розкрити, користуючись правилом Лопіталя:

.

Приклад 5. Провести повне дослідження поведінки функції і побудувати її графік.

Розв’язок.

1. Дана функція є дробовою і не існує, коли знаменник дорівнює нулю, тому область існування даної функції:

.

2. Функція не є періодичною. Вона є парною, тому що , отже графік функції симетричний відносно осі .

3. Функція має нескінчені розриви в точках та :

; ;

; .

Отже, функція має дві вертикальні асимптоти: та .

4. Для знаходження інтервалів монотонності функції та екстремумів функції необхідно знайти критичні точки першого роду, тобто точки, в яких перша похідна функції не існує або дорівнює нулю. Знайдемо похідну функції:

.

Отже, критичними точками першого роду будуть точки з абсцисами , та , але дві останні точки не входять в область існування функції. Для дослідження інтервалів монотонності функції одержали 4 інтервали: . Для дослідження функції на екстремум будемо розглядати точку з абсцисою . Оформимо ці дослідження у таблицю:

знак	–	–		+	+
поведінка графіка функції	спадає	спадає	точка мінімуму	зростає	зростає

Знайдемо екстремальне значення функції: .

5. Для знаходження інтервалів опуклості та угнутості графіка функції та точок перегину необхідно знайти критичні точки другого роду. Знайдемо другу похідну функції:

.

Отже, критичними точками другого роду будуть точки з абсцисами: та , але ці точки не входять в область існування функції. Для дослідження інтервалів опуклості та угнутості графіка функції одержали 3 інтервали: . Точок перегину не існує. Оформимо ці дослідження у таблицю:

знак	–	+	–
поведінка графіка функції	опуклий	угнутий	опуклий

6. Дослідимо поведінку графіка функції на нескінченності.

, звідки робимо висновок, що – горизонтальна асимптота.

, отже нахилених асимптот не існує.

Рис. 1. Графік функції

7. Знайдемо точки перетину графіка функції з осями координат: з віссю : – точка мінімуму функції, з віссю точок перетину не існує.

Знайдемо контрольні точки: ; ; . В силу симетрії: ; ; .

8) На основі проведеного дослідження побудуємо графік функції (рис. 1).