2. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Основу информационного обеспечения модели межотраслевого баланса составляет технологическая матрица, содержащая коэффициенты прямых материальных затрат на производство единицы продукции. Эта матрица является также основой экономико-математической модели межотраслевого баланса. Предполагается, что для производства единицы продукции в j-й отрасли требуется и определенное количество затрат промежуточной продукции i-й отрасли, равное а_ij. Оно не зависит от объема производства в отрасли и является довольно стабильной величиной во времени. Величины а_ij называются коэффициентами прямых материальных затрат и рассчитываются следующим образом:

(4)

Определение 1. Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.

С учетом формулы (4) систему уравнений баланса (2) можно переписать в виде:

(5)

Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых материальных затрат А = (а_ij), вектор-столбец валовой продукции и вектор-столбец конечной продукции:

=.

то система уравнений (5) в матричной форме примет вид:

(6)

Система уравнений (5), или в матричной форме (6), называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса (моделью Леонтьева, моделью «затраты – выпуск»). С помощью этой модели можно выполнять три варианта расчетов:

• задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

(7)

• задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i) можно определить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

(8)

• задав величины валовой продукции для ряда отраслей, а для всех остальных отраслей задав объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых. В этом варианте расчета удобнее пользоваться не матричной формой модели (6), а системой линейных уравнений (5).

В формулах (7) и (8) Е обозначает единичную матрицу n-го порядка, а (Е_n-А)^-1 обозначает матрицу, обратную к матрице (Е-А). Если определитель матрицы (Е_n-А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В=(Е_n-А)^-1. Тогда систему уравнений в матричной форме (8) можно записать в виде:

(9)

Элементы матрицы В будем обозначать через b_ij. Тогда из матричного уравнения (8) для любой i-й отрасли можно получить следующее соотношение:

(10)

Из соотношений (9) следует, что валовая продукция выступает как взвешенная сумма величин конечной продукции, причем весами являются коэффициенты b_ij, которые показывают, сколько всего нужно произвести продукции i-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j-й отрасли. В отличие от коэффициентов прямых затрат a_ij коэффициенты b_ij называются коэффициентами полных материальных затрат и включают в себя как прямые, так и косвенные затраты всех порядков. Если прямые затраты отражают количество средств производства, израсходованных непосредственно при изготовлении данного продукта, то косвенные относятся к предшествующим стадиям производства и входят в производство продукта не прямо, а через другие (промежуточные) средства производства.

Определение 2. Коэффициент полных материальных затрат b_ij показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Коэффициенты полных материальных затрат можно применять, когда необходимо определить, как скажется на валовом выпуске некоторой отрасли предполагаемое изменение объемов конечной продукции всех отраслей:

i=

и - изменения (приросты) величин валовой и конечной продукции соответственно.

Определение полных затрат осуществляется 2-мя способами:

1. Через нахождение обратной матрицы:

   1. Методом Жордана-Гаусса:

а₁₁ а₁₂ … а_1n

а₂₁ а₂₂ … а_2n

… … … …

а_n1 a_n2 … a_nn

Присоединяем единичную матрицу E_n. В качестве разрешающего элемента выбирается a_i*j*, где i=j и изменяется от 1 до n.

Пересчет разрешающего столбца:

a^#_i*j*=1, a^#_ij*=0,

Пересчет разрешающей строки:

a^#_i*j=a_i*j / a_i*j*

Остальные элементы пересчитываются по правилу прямоугольника:

a^#_ij = , i=, кроме i=i_*, j=, кроме j=j_*.

б) Путем вычисления определителя и присоединенной матрицы:

,

где- определитель матрицы,

- матрица, присоединенная к матрице .

Элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов определителя матрицы, транспонированной относительно матрицы .

2. Через прямые и косвенные затраты.

Коэффициент полных затрат продукции представляет собой сумму прямых затрат a_ij и косвенных затрат i-й продукции для производства единицы j-й продукции через все конечные продукты на всех предыдущих стадиях производства.

c_ij = a_ij + a⁽¹⁾_ij + a⁽²⁾_ij + … + a^(k)_ij

С = A + A² + A³ + … + A^k+1

B = E_n + C,

т.е. b_ij =

Экономический смысл различия между коэффициентами b_ij и с_ij заключается в том, что в отличие от коэффициента с_ij коэффициент b_ij включает в себе саму единицу конечной продукции, которая входит в сферу производства. Если выпуск конечного продукта j нужно увеличить на единицу, то валовой выпуск продукта i должен быть увеличен на b_ij.

Для дополнительного выпуска единицы конечной продукции j-го вида валовой выпуск во всех других отраслях должен возрасти на величину полных затрат на производство этой единицы, а в самой отрасли j, кроме того, к валовому выпуску добавляется и эта дополнительно производимая единица.