2. Матричные игры

Одним из основных видов игр являются матричные игры, которыми называются парные игры с нулевой суммой (один игрок выигрывает столько, сколько проигрывает другой) при условии, что каждый игрок имеет конечное число стратегий. В этом случае парная игра формально задается матрицей А=(a_ij), элементы которой a_ij определяют выигрыш первого игрока (и соответственно проигрыш второго), если первый игрок выберет i-ю стратегию (), а второй –j-ю (). МатрицаА называется матрицей выигрышей или платежной матрицей.

Рассмотрим построение платежной матрицы на примере.

Пример 1. Сельскохозяйственное предприятие может возделывать n видов зерновых культур. На конкретном поле может возделываться только одна из этих культур. Если зерно вида j () будет пользоваться спросом, то предприятие от его реализации получит прибыльP_j. Если же этот вид зерна не будет пользоваться спросом, то издержки на его хранение принесут предприятию убыток g_j. Требуется выбрать зерновую культуру, которую целесообразно возделывать на конкретном поле.

В условиях неопределенного покупательского спроса конфликтная ситуация производства продукции формализуется матричной игрой. Пусть первый игрок – предприятие, второй игрок – покупательский спрос. Каждый из игроков имеет по n стратегий. Возделывание i-ой культуры – i-я стратегия первого игрока, спрос на j-й вид зерна – j-я стратегия второго игрока. Тогда матрица выигрышей первого игрока имеет вид квадратной матрицы n-го порядка:

Существует ряд методов решения матричных игр. Если матрица игры имеет одну из размерностей, равную двум (у одного из игроков имеется только две стратегии), то решение игры может быть получено графически. Известно несколько методов приближенного решения матричной игры, - например, метод Брауна.

В качестве примера рассмотрим решение игры, когда матрица имеет так называемую седловую точку.

Пример 2. Исходные данные приведены в таблице 20.

Таблица 20 - Урожайность озимой пшеницы при различных нормах

внесения удобрений и сроках выпадения дождей, ц/га

Норма внесения удобрений, кг/га		Сроки выпадения дождей
		при подготовке к почве	перед посевом	ранней весной	в конце мая
		У1	У2	У3	У4
45	Х1	27,1	28,7	30,5	31,0
60	Х2	28,3	28,5	28,6	29,0
90	Х3	29,6	29,9	31,7	33,0
120	Х4	31,0	32,0	31,2	31,7

Требуется определить, какие нормы удобрения следует вносить на 1 га посевов озимой пшеницы в зависимости от срока выпадения дождей, чтобы получить максимальную урожайность.

Чистые стратегии хозяйства – внесение различных доз, обозначим через Х_i. Чистые стратегии погоды – сроки выпадения дождей, обозначим через Y_j. Хозяйство и погода имеют по четыре чистых стратегии.

Проанализируем их возможные действия. Если бы хозяйству было известно, в какие периоды выпадает дождь, то оно могло бы в каждой ситуации выбрать наилучшую стратегию. Если погода примет одну из своих стратегий, тогда наилучшими ходами хозяйства будут:

Срок выпадения дождей Y₁ Y₂ Y₃ Y₄

Норма внесения удобрений X₁ X₂ X₃ X₄

Урожайность (ц/га) 31 32 31,7 33

Однако хозяйство наперед не знает, какая будет погода. Какую же стратегию выбрать в качестве наиболее выгодной?

Выбирая какую-либо стратегию Х_i из 4-х возможных, хозяйство поступит рационально, если будет рассчитывать на то, что погода будет наименее благоприятной:

= a_ij

Из платежной матрицы игры видно, что наименьший выигрыш, который может получить хозяйство при выборе любой из 4-х стратегий, равен: = 27,1,= 28,3,= 29,6,= 31. Эти числа являются наименьшим выигрышем и называются гарантированным выигрышем (уровнем урожайности). Если погода будет даже самой неблагоприятной, то в этих условиях минимум урожайности будет гарантирован.

Но хозяйство может выбрать ту из стратегий Х_i, для которых число является максимальным:

= = (a_ij).

Величина называется максимальным выигрышем среди минимальных уровней урожайности или максимином. Стратегия, которая находится в соответствующей строке платежной таблицы, называется максимином. Максимин = 31.

Это гарантийная урожайность, которую может получить хозяйство, придерживаясь наиболее эффективной стратегии. Величина называется нижней ценой игры.

Аналогичные рассуждения можно вести с позиции природы. Гарантированные урожаи для хозяйства будут рассматриваться как наибольшие проигрыши природы.

= _ij ,

= =(a_ij)

Наибольшие проигрыши, или гарантированные природные уровни урожайности, равны: ₁ = 31, ₂ = 32, ₃ = 31,7, ₄ = 33.

Минимальный гарантированный уровень, или наименьший среди наибольших проигрышей, равный = 31, называется минимаксом или верхней ценой игры.

Если нижняя и верхняя цены игры совпадают, то их общее значение называется чистой ценой игры и обозначается . Эта точкаравновесия, или седловая точка платежной матрицы.

Стратегии Х₄ для хозяйства и У₁ для природы называются оптимальными чистыми стратегиями, а их нахождение – оптимальным решением задачи.