2. Экономические свойства двойственных оценок

Конкретными экономическими свойствами оценок y_i оптимального плана является:

Свойство 1. Оценки как мера дефицитности ресурсов и продукции.

Свойство 2. Оценки как мера влияния ограничений на функционал.

Свойство 3. Оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов.

Свойство 4. Оценки как инструмент балансирования суммарных затрат и результатов.

Экономическое истолкование оценок есть интерпретация их общих экономико-математических свойств применительно к конкретному содержанию задачи. Не использованный полностью в оптимальном плане ресурс получает нулевую оценку. Нулевая оценка ресурса свидетельствует о его недефицитности. Ресурс недефицитен не из-за его неограниченных запасов (они ограничены величиной b_i), а из-за невозможности его полного использования в оптимальном плане. Так как суммарный расход недефицитного ресурса меньше его общего количества, то план производства им не лимитируется. Данный ресурс не препятствует и дальше максимизировать целевую функцию f().

Ограничивают целевую функцию дефицитные ресурсы. В рассматриваемой сельскохозяйственной задаче – пашня и механизированные работы. Они полностью использованы в оптимальном плане. Оценка таких ресурсов положительна (у₁ =1; y₃ =0,75). Трудовые ресурсы имеют нулевую оценку (у₂=0), они недефицитны.

Оценка ресурса показывает, на сколько изменится критерий оптимальности при изменении количества данного ресурса на единицу. Для

недефицитного ресурса оценка равна нулю, поэтому изменение его величины не повлияет на критерий оптимальности. Дефицитность ресурса измеряется вкладом единицы ресурса в изменение целевой функции.

Если в хозяйстве будет возможность приобрести дополнительно 1 га пашни, то при его использовании стоимость продукции возрастет на 1 тыс. руб. Увеличение механизированных работ на 1 усл. га позволит произвести дополнительно продукции на 750 руб. Величина двойственных оценок в данном случае может служить предельной ценой, которая приемлема при покупке ресурсов.

Двойственные оценки могут быть использованы для определения эффективности производства других видов продукции, которые не входили в условия задачи. Например, если производство картофеля требует в расчете на 1 га посадки: 1 га пашни, 100 чел. – дн., 10 усл. га, то стоимость реализованной с 1 га продукции для целесообразности возделывания этой культуры должно быть не менее: тыс. руб.

3. Анализ оптимального решения по последней симплексной таблице

Для анализа используем результаты решения сельскохозяйственной задачи с ограничениями по трем ресурсам (табл. 8).

Таблица 8 – Последняя симплексная таблица для сельскохозяйственной

задачи с тремя ресурсами

	сj	0	4	10	0	0	0
ci	П Б	b0	х1	х2	х3	х4	х5
0	х4	30	0	0	30	1	-15
10	х2	1	0	1	-0,5	0	0,125
4	х1	4	1	0	1,5	0	-0,125
		26	0	0	1	0	0,75

При решении задачи на максимум характеристики строки оценок (двойственные оценки), взятые с противоположным знаком, показывают изменения целевой функции при введении в базис небазисной переменной с единичной интенсивностью. Если в базис будет введена переменнаях₃=1, это значит, что 1 га пашни будет недоиспользован. При этом значении базисных переменных изменятся на величину коэффициентов замещения, находящихся в столбце симплексной таблицы с переменной х₃. Знаки этих коэффициентов, по аналогии со знаком двойственной оценки, должны быть изменены на противоположные:

=30-30=0

=1+0,5=1,5

=4-1,5=2,5

=42,5+101,5=25

=25-26=-1

В противоположной ситуации, когда в хозяйстве будет возможность использовать дополнительно 1 га пашни, значение целевой функции и базисных переменных изменится на величину коэффициентов замещения, взятых с прямыми знаками:

=4+1,5=5,5

=1-0,5=0,5

=30+30=60

=45,5+101,5=27

=27-26=1

Выполнение ограничений:

1. По площади пашни:

5,5 га + 0,5 га = 6 га (вместе 5 га)

2. По использованию трудовых ресурсов:

30 чел. – дн.5,5 га +150 чел. – дн.5,0 га = 240 чел. – дн.

Недоиспользование трудовых ресурсов составило:

300 чел. – дн. – 240 чел. – дн. = 60 чел. – дн. (х₄=60).

3. По механизированным работам:

4 усл. га5,5 га + 12 усл. га0,5 га=28 усл. га

При изменении объема ресурсов на несколько единиц коэффициенты замещения в процессе пересчета значений базисных переменных увеличиваются в соответствующее количество раз.

При увеличении ресурсов коэффициенты замещения, имеющие отрицательное значение, будут снижать значение соответствующей базисной переменной. То значение дополнительного объема ресурсов, при котором значение базисной переменной достигнет нуля, будет предельным, поскольку при нулевом значении базисная переменная становится свободной (небазисной), и состав базиса изменится.

При увеличении ресурсов пашни на 2 га переменная х₂ достигнет нулевого значения (2=1/0,5). Следовательно, если ресурсы пашни в хозяйстве увеличатся более, чем на 2 га, последняя симплексная таблица будет непригодной для получения новых значений базисных переменных, поскольку состав базиса изменится, а задачу нужно решить заново.

При уменьшении ресурсов пашни уменьшаются базисные переменные х₄ и х₁. При уменьшении пашни на 1 га переменная х₄ уже достигнет нулевого значения (1=30/30). По переменной х₁ нулевой значение будет достигнуто при уменьшении пашни на га (=4/1,5). Поэтому в случае, когда уменьшается ресурс и в таблице соответствующей небазисной переменной имеется несколько положительных коэффициентов замещения, среди соотношений значений коэффициентов столбцаb₀ и соответствующих положительных коэффициентов в столбце с небазисной переменной, обозначающей недоиспользование рассматриваемого ресурса, выбирается минимальное, которое и укажет на максимальную величину снижения объема ресурса.

Таким образом, предельное уменьшение пашни в хозяйстве может составить 1 га. Предельное изменение ресурса пашни в хозяйстве, при котором состав базисных переменных не изменится, составляет от 4 до 7 га.

При увеличении объемов механизированных работ максимальное значение составит:

min (30/15; 4/0,125)= 2 (усл. га),

а при уменьшении:

1/0,125=4 (усл. га).

Пределы изменения объемов механизированных работ, при которых можно использовать коэффициенты замещения последней симплексной таблицы для пересчета значений базисных переменных, составляют от 24 до 30 усл. га.

Оптимальные размеры посевных площадей в хозяйстве приводят к недоиспользованию трудовых ресурсов на 30 чел. – дн. Поэтому уменьшение объема ресурса труда на эту величину не изменит состав базиса и значения целевой функции. Уменьшится лишь на соответствующую величину базисная переменная х₄. Точно так же повлияет на решение и увеличение трудовых ресурсов с той лишь разницей, что предел увеличения отсутствует. Следовательно, объем трудовых ресурсов в хозяйстве может изменяться от 270 чел. – дн. до бесконечно большой величины.