Критерий устойчивости Гурвица
.docАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА)
Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком
А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.
Адольф Гурвиц (нем. Adolf Hurwitz), 26 марта 1859, Хильдесхайм — 18 ноября 1919, Цюрих — немецкий математик.
Гурвиц поступил в университет Мюнхена в 1877 году. Через год он переезжает в Берлин. Заканчивает обучение в Лейпциге (1880). Преподавательскую карьеру начал в Кёнигсбергском университете, где в 1884 году стал профессором. С 1892 года профессор Политехнической школы в Цюрихе. Среди его студентов в Цюрихе были Давид Гильберт и Альберт Эйнштейн.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Чтобы все корни характеристического уравнения АС
a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a0 > 0 выполнение условия:
все n определителей Гурвица, получаемые из квадратной матрицы коэффициентов
-
a1
a3
a5
a7
...
0
0
a0
a2
a4
a6
...
0
0
0
a1
a3
a5
...
0
0
0
a0
a2
a4
...
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
0
0
an-1
0
0
0
0
0
an-2
an
должны быть положительны.
Матрица Гурвица составляется следующим образом:
-
на главной диагонали записывают коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an ( в порядке возрастания индекса),
-
в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами,
-
в каждом столбце ниже диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно убывающими индексами;
-
на местах коэффициентов с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули.
Определители Гурвица – это так называемые
ДИАГОНАЛЬНЫЕ МИНОРЫ:
; 
;
;
. . .
Последний столбец матрицы содержит
всегда только один элемент an,
отличный от нуля, поэтому согласно
известному свойству определителей
Если an = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система),
если
,
то - колебательная граница устойчивости
(комплексные корни).
ИТАК
Если хотя бы один из определителей Гурвица
отрицателен или равен нулю,
то система неустойчива.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ ГУРВИЦА
Главное достоинство критерия Гурвица состоит в том, что могут быть записаны формулы, по которым для конкретных порядков АС может быть не только установлена её устойчивость, но и проанализировано влияние параметров АС на это свойство.
Наиболее
известно неравенство
для АС 3-го
порядка (все
коэффициенты ХПАС должны быть одного
знака, чаще считают - положительными).
Его намного раньше А. Гурвица получил
И.А. Вышнеградский.
Для
АС 4-го порядка
кроме положительности всех коэффициентов
ХПАС должно выполняться неравенство
.
Видно, что неравенство Вышнеградского
является составной частью критерия.
Для
АС 5-го порядка
условия Гурвица имеют вид:
,
,
,
.
Обратите внимание, что «вычисляемых»
неравенств стало теперь два и одно из
них - неравенство Вышнеградского, которое
входит и во второе условие.
Для АС 6-го порядка аналитический вид неравенств Гурвица таков:
,
,
(первое
«вычисляемое» неравенство),
(второе «вычисляемое» неравенство).
При использовании формул, вытекающих из критерия Гурвица для конкретных порядков АС, нужно обращать внимание на форму записи полинома и индексацию его коэффициентов – начиная с 4-го порядка, можно получить неверную оценку устойчивости.
Сложность аналитических выражений точных алгебраических критериев устойчивости привела к разработке простых достаточных критериев устойчивости (А.В. Липатова - Н.И. Соколова, В.С. Воронова и др.).
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Болнокин В.Е., Чинаев П.И. Анализ и синтез систем автоматического управления на ЭВМ. Алгоритмы и программы. – М.: Радио и связь, 1986. – 248 с.
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления, под редакцией В.А. Бесекерского, издание пятое, переработанное, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1978, 512 с.