5. Упругие силы. Закон Гука

Упругими называются силы, возникающие при упругих деформациях тел.

Рассмотрим зависимость деформации металлического стержня или струны от величины внешней растягивающей силы F(рис. 3.10). Удлинение стержня будет зависеть не только от величины приложенной силы, но и от его начальной длины —l₀, поэтому в качестве объективной характеристики деформации тела принимается его относительное удлинение:

. (3.16)

Относительное удлинение будет одинаковым как для разных участков стержня, так и для всего стержня в целом. Эта величина будет зависеть теперь только от приложенной силы.

Рис. 3.10

Считается, что растягивающая сила равномерно распределена по поверхности любого поперечного сечения стержня S. Отношениеназывается напряжением. Напряжение измеряется ви численно равно силе, действующей на поверхности единичной площади. На графике (рис. 3.11) представлена зависимость относительной деформацииот напряжения.

Рис. 3.11

Вначале с увеличением растягивающего усилия Fдеформация стержня растёт пропорционально напряжению (до точкиПна графике). При дальнейшем увеличении нагрузки пропорциональность нарушается, стержень удлиняется при почти неизменной нагрузке. Эта область — за точкойТдиаграммы называется областью текучести. Здесь происходят пластические, необратимые деформации, которые не исчезнут бесследно после снятия нагрузки. Дополнительное увеличение нагрузки приводит к разрыву стержня (т.Р).

Упругие силы возникают при деформациях стержня только в пределах области пропорциональности. Здесь напряжение пропорционально относительной деформации

 = Е (3.17)

Эта важная зависимость была установлена в 1660 году английским учёным и изобретателем Робертом Гуком. Коэффициент пропорциональности Е в законе Гука — модуль Юнга — является одной из характеристик материала.

Отметим, что всё сказанное справедливо, конечно, и для случая сжатия стержня.

Перепишем закон Гука в таком виде

,

F=kl, (3.18)

где: — коэффициент упругости.

В этой форме закон Гука записывают и для случая упругой деформации пружин

Е = кх, (3.19)

здесь: х— деформация пружины,

F— приложенная внешняя сила (рис. 3.12).

X

Рис. 3.12

Если рассмотреть малый элемент пружины х, то окажется, что он находится в равновесии потому, что кроме внешней силы на него действует равная по величине и противоположная по направлению упругая сила

F_упр= –F= –кх

Упругая сила, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна величине деформации хтела. Знак минус означает, что упругая сила направлена всегда к положению равновесия.

2. Пример применения законов Ньютона

В качестве примера рассмотрим задачу о соскальзывании небольшой шайбы с наклонной плоскости, составляющей угол = 45с горизонтом.

Найти коэффициент трения шайбы о плоскость, если расстояние, пройденное телом, меняется со временем по квадратичному законуS=ct². Здесьс= 1.73 м/с².

S = c  t2

с= 1.73 м/с2

 = 45

 = ?

1. сделаем рисунок

2. нанесём все силы, действующие на шайбу:

сила тяжести — mg,

сила трения — F_тр=N,

упругая сила реакции опоры — N.

3. Выберем систему координат хy.

4. Запишем уравнение движения шайбы в векторном виде

5. Спроецируем это уравнение на направления хиy, учитывая, что в направленииyускорение отсутствуета_y= 0.

х: –F_тр + mg sin  = ma (1)

y:N–mgcos= 0 (2)

Из уравнения (2) следует, что

N=mgcos

Используем этот результат в уравнении (1)

– mg cos  + mg sin  = m a.

или

(3)

Обратимся теперь к условию S=ct² и найдем сначала скорость, а затем и ускорение движения.

.

. (4)

Используя найденные результат (4) в уравнении (3), вычислим искомый коэффициент трения

Результат, вполне ожидаемо, оказался безразмерным.