
- •Курс общей физики (лекции)
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Лекция 2 «Кинематика материальной точки»
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Рассмотрим колебания, которые поддерживаются в системе внешней гармонической силой F=F0Cost. Такие колебания называются вынужденными.
Обратимся вновь к пружинному маятнику. Вспомним уравнения движения этого осциллятора:
— уравнение собственных незатухающих
колебаний. В системе действует одна
упругая силаFупр= –kx;
— собственные затухающие колебания. В
системе появилась сила вязкого
сопротивления, пропорциональная скорости
.
В случае вынужденных колебаний кроме двух названных сил — упругой и силы сопротивления, на систему действует ещё одна сила: F=F0Cost.
— дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний пружинного маятника. Это
уравнение движения принято записывать
так:
.
Введя знакомые обозначения
и
,
представим уравнение движения осциллятора
окончательно в таком виде:
. (13.14)
Опыт показывает, что под действием гармонического возмущающего усилия F=F0Costосциллятор совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы:
х=ACos(t+). (13.15)
Если частота известна, то задача сводится к определению амплитуды вынужденных колебанийАи начальной фазы.
Продифференцировав функцию (13.15), подставим ее в уравнение (13.14):
.
Теперь воспользуемся известными тригонометрическими формулами для косинуса и синуса суммы двух углов:
Это уравнение представляет собой сумму двух гармонических слагаемых
а Cos t + b Sin t = 0.
Последнее равенство возможно в единственном случае, если постоянные во времени aиbравны нулю:а= 0,b= 0. Это означает, что справедливы следующие уравнения:
, (13.16)
.
(13.17)
Эти два уравнения содержат только две
неизвестные величины: амплитуду Аи фазувынужденного
колебания. Для отыскания амплитудыАможно домножить уравнение (13.16) на,
а уравнение (13.17) — наCos.
Вычтя теперь из первого уравнения
второе, получимSin:
,
.
(13.18)
Воспользовавшись этим результатом в уравнении (13.17), найдем Cos:
. (13.19)
Возведем уравнения (13.18) и (13.19) в квадрат и сложим:
Последнее уравнение решим относительно искомой амплитуды колебаний А:
.
(13.20)
Фазовый сдвиг смещения xотносительно возмущающего усилияFнайдём непосредственно из уравнения (13.17):
.
(13.21)
Обратимся к анализу полученных результатов.
Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде возмущающего усилия F0.
Если = 0 — случай приложения статической нагрузкиF0, смещение груза будет определяться жёсткостью пружиныk:
.
При высоких частотах внешнего усилия (→), амплитуда колебанийА→0.
Для отыскания частоты рез, при которой амплитуда достигает наибольшего значенияАрез, нужно найти минимум выражения, стоящего под корнем в знаменателе уравнения (13.20). Продифференцировав это выражение по, и приравняв результат нулю, получим условие, определяющеерез:
.
Отсюда следует, что резонансная частота резменьше частоты собственных незатухающих колебаний0:
.
(13.22)
Используя это значение в (13.20), рассчитаем резонансную амплитуду:
.
(13.23)
Если вязкое сопротивление отсутствует, коэффициент затухания =
= 0 и резонансная амплитуда устремляется в бесконечность. При этом условии резонансная частота, как следует из (13.22), равна частоте собственных незатухающих колебаний осцилляторарез=0.
С увеличением коэффициента затухания , резонансная частота и амплитуда колебаний уменьшаются.
Все эти закономерности графически представлены на рис. 13.4.
Рис. 13.4
При слабом затухании, когда
, резонансная амплитуда равна
.
Разделим это
выражение на
— смещение под действием постоянной
силы:
.
Таким образом, добротность осциллятора численно равна отношению резонансной амплитуды к смещению под действием постоянной силы.
На рис. 13.5 представлена зависимость фазового сдвига вынужденных колебаний и вынуждающей силы — график функции (13.21). С увеличением частоты вынуждающего усилия растет, меняясь от 0 до. В резонансе фазовый сдвиг равен
. Эта зависимость=() меняется с изменением коэффициента затухания.
Рис. 13.5