2. Ускорение

В общем случае прямолинейного движения скорость материальной точки может меняться во времени: V=V(t).

Пусть в момент времени t₁скорость былаV₁, а в моментt₂–V₂(рис. 1.5).

Рис. 1.5

Отношение изменения скорости материальной точки V=V₂—V₁ко времениt=t₂—t₁, за которое оно произошло, называетсясредним ускорениемчастицы в интервале времени отt₁доt₂=t₁+t.

. (1.6)

В пределе при t 0 среднее ускорение стремится к значению, которое называется мгновенным ускорением:

. (1.7)

Мгновенное ускорениечастицы равно первой производной её скоростиV(t) по времени.

Так как скорость является первой производной координаты по времени , то ускорение можно назвать второй производной координаты по времени:

. (1.8)

Ускорение в системе СИ измеряют в .

4. Примеры прямолинейного движения

Рассмотрим два классических примера прямолинейного движения материальной точки.

1. Равномерное движение

Равномерным называется движение частицы, если её координата является линейной функцией времени

x(t) =A+Bt. (1.9)

Здесь А и В — постоянные величины.

Пусть в момент начала отчета времени t= 0 , частица проходит на осиxточкуМ₀, координата которойx(0) =x₀(рис. 1.6)

Рис. 1.6

Как следует из кинематического уравнения движения (1.9), при t= 0

х(0) =х₀= А. (1.10)

Таким образом А — координата той точки на оси х, которую частица проходит в момент запуска часов.

Скорость рассматриваемого движения

. (1.11)

Коэффициент В в уравнении движения (1.9) — его неизменная скорость.

Следовательно, равномерноедвижение происходит с постоянной скоростью.

Воспользовавшись полученными результатами (1.10) и (1.11), запишем кинематическое уравнение равномерного движения (1.9) в стандартном виде

x(t) =x₀+V₀t. (1.12)

Ускорение такого движения , так какV=V₀=сonst(1.11).

Графики равномерного движения приведены на рис. 1.7.

Рис. 1.7

2. Равнопеременное движение

Равнопеременным называется движение материальной точки, если её координата является квадратичной функцией времени

х= А +Вt+ Сt². (1.13)

Раскроем физическое содержание констант А, В и С.

Пусть в момент времени t= 0, координата точки равнах₀(рис. 1.8).

Как следует из уравнения (1.13) при t= 0

x(0) =x₀= А, (1.14)

то есть постоянная А равна координате движущейся точки в начальный момент наблюдения.

Рис. 1.8

Скорость частицы

. (1.15)

В начальный момент (t= 0) скорость

V(0) =V₀ = В. (1.16)

Постоянная В равна скорости движения V₀в момент запуска часов.

Ускорение движения

Отсюда следует, что постоянная С равна половине неизменного ускорения движения частицы

. (1.17)

Равномерным можно назвать движение с постоянным ускорением

a=a₀= 2C=const.

Кинематические уравнения этого движения обычно представляют в виде

, (1.18)

V=B+ 2Ct=V₀+a₀t. (1.19)

Здесь мы воспользовались нашими результатами (1.14), (1.16), (1.17).

Графики зависимости от времени ускорения, скорости и координаты частицы, движущейся равноускоренно, представлены на рис.1.9.

Рис. 1.9

Лекция 2 «Кинематика материальной точки»

План лекции

1. Элементы векторной алгебры.

2. Кинематические характеристики криволинейного движения.

   1. Скорость движения.

   2. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории.

3. Движение материальной точки по окружности.

1. Элементы векторной алгебры

Вектором называется количественная характеристика, имеющая не только числовую величину, но и направление.

1. Сложение (вычитание) векторов

(2.1)

Сложение векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Правило вычитания векторов поясняется на рис. 2.2

(2.2)

Рис. 2.2

2. Задание вектора (рис. 2.3)

Рис. 2.3

(2.3)

Здесь A_x, A_y, A_z— проекции векторана оси координат.

Модуль вектора равен

(2.4)

3. Произведение вектора на скаляр

При умножении вектора на число n, его модуль величится вnраз. Направление вектора сохраняется прежним (n0), либо изменяется на противоположное (n0) (рис. 2.4)

Рис. 2.4

4. Скалярное произведение двух векторов.

По определению скалярным произведением векторов иявляется число, равное произведению модулей перемножаемых векторов на конус угла между ними (рис. 2.5)

(2.5)

Рис. 2.5

5. Векторное произведение

Результатом векторного произведения векторов иявляется вектор, нормальный к плоскости, содержащей перемножаемые векторы.

Модуль вектора равен

. (2.6)

где: —угол между векторамии(рис. 2.6).

Рис. 2.6

Направление вектора = [×] связано с направлениями перемножаемых векторов правилом правого винта.

Из определения векторного произведения следует, что модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Векторное произведение некоммутативно:

[] = – [],

то есть зависит от порядка сомножителей.