3. Собственные колебания физического маятника

Физическим маятником можно назвать любое твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси. Возьмём в качестве такого маятника однородный тонкий стержень длиной l(рис. 12.7).

Рис. 12.7

Ось колебания проходит через точку О, отстоящую на расстоянии dот центра масс стержня — точки С. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

. (12.12)

Здесь — момент внешних сил, вращающих тело относительно горизонтальной осиx. Такая сила в системе одна — сила тяжести. Её момент равен произведению величины силы на «плечо» — на расстояние от оси вращения до линии действия силы —b:

,

где — угол, который образует стержень с вертикалью.

Вычисляя момент инерции стержня I_x, воспользуемся теоремой Гюйгенса-Штейнера:

.

— момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку центра масс.

Учитывая, что угловое ускорение . Запишем уравнение колебаний физического маятника в следующем виде:

.

В случае малых углов отклонения, когда Sin, это уравнение можно упростить:

. (12.13)

Уравнение (12.13) — дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в стандартном виде. Известно, что решением подобного уравнения является гармоническая функция:

, (12.14)

где частота собственных незатухающих колебаний:

. (12.15)

Период собственных колебаний физического маятника

. (12.16)

Сравнивая (12.16) с периодом колебаний математического маятника , легко установить, что их периоды будут совпадать, если длина математического маятника окажется равной,l₀— называетсяприведенной длиной физическогомаятника, она равна длине такого математического маятника, период которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Для вычисления частоты и периода собственных незатухающих колебаний, например, тонкого стержня, нужно в соответствующих формулах [(12.15), (12.16)] использовать момент инерции стержня .

3. Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм

Гармоническое колебание x=a Cos (t+) геометрически может быть представлено проекцией на произвольное направлениеxвектора, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью. Длина этого вектора равна амплитуде колебания, а его первоначальное направление образует с осьюxугол, равный начальной фазе колебания —. Используя это геометрическое толкование, решим задачу о сложении двух гармонических колебаний одинаковой частоты и направления.

x = x₁ + x₂ = a₁Cos (t + ₁) + a₂ Cos (t + ₂).

Построим вектор (под углом₁к осиx), изображающий первое колебание. Прибавим к нему векторно вектор, образующий угол₂с осьюx(рис. 12.8). Сумма проекций этих векторов на осьxравна проекции на эту ось вектора, равного суммеи.

=+

x=x₁+x₂.

Рис. 12.8

Приведем эту векторную диаграмму во вращение с угловой скоростью вокруг оси, проходящей через начало координат — точку О. При этом равенствоx=x₁+x₂сохранится неизменным во времени, хотя сами проекцииx,x₁иx₂будут теперь пульсировать по гармоническому закону с одинаковой частотойи с начальными фазами,₁и₂— соответственно. В результате сложения двух колебаний:

x₁=a₁ Cos (t+₁) иx₂=a₂ Cos (t+₂) возникает новое колебаниеx=x₁+x₂=

= a Cos (t + ), частота которого —– совпадает с частотой складываемых колебаний. Его амплитуда равна модулю вектора, а начальная фаза, как следует из рис. 12.8, равна:

.

Для подсчета амплитуды «а» суммарного колебания, воспользуемся теоремой косинусов:

.

Величина амплитуды результирующего колебания зависит не только от амплитуд складываемых колебаний а₁иа₂, но и от разности их начальных фаз. Колебание с максимальной амплитудой,а=a_max=a₁+a₂возникает при сложении синфазных колебаний, то есть когда их начальные фазы совпадают:₁=₂.

Если разность фаз (₂–₁) =, то амплитуда суммарного колебания будет минимальнойa=a_min= |a₁–a₂|. Если амплитуды таких колебаний, происходящих в противофазе, равны (a₁=a₂), то амплитуда суммарного колебания окажется равной нулю.

Этим методом векторных диаграмм нам предстоит в будущем часто пользоваться при сложении не только колебаний, но и волн.