Лекция 8 «Механика твёрдого тела»

План лекции:

1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси.

2. Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек.

3. Закон сохранения момента импульса.

Прежде чем приступить к изучению движения твёрдых тел, необходимо познакомиться с рядом новых физических понятий и характеристик движения.

1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси

Рассмотрим движение материальной точки mпод действием силы. Положение этой частицы будем задавать относительно начала неподвижной системы координат радиус-вектором(рис. 8.1).

Рис. 8.1

По определению, моментом силы относительно неподвижного центра0 называется следующее векторное произведение:

. (8.1)

Вектор момента силы перпендикулярен плоскости, образованной векторами и. Направление этого вектора связано с направлениями перемножаемых векторов «правилом правого винта».

Проекция вектора момента силы на какую-либо ось называется моментом силы относительно этой оси. Рассмотрим, например, момент силы относительно осиz(рис. 8.2). Разложим силуна три составляющие:

здесь: — составляющая, параллельная осиz;

— составляющая, перпендикулярная осиzи действующая вдоль прямой, проходящей черезz;

— составляющая, перпендикулярная плоскости, проходящей через ось и точку приложения силы.

Рис. 8.2

Момент силы относительно центра 0 можно представить теперь суммой моментов её составляющих относительного того же центра. Действительно, умножим векторно предыдущее разложение на радиус-вектор:

.

В этом равенстве все слагаемые — моменты соответствующих сил:

.

Спроецируем это уравнение на ось Z

.

Первые слагаемые равны нулю, так как векторы иперпендикулярны осиZ, поэтому их проекции наZравны нулю.

Таким образом, момент силы относительно осиZравен проекции на эту ось момента силыотносительно центра 0.

Момент силы относительно неподвижного центра 0:

образует с осью Z угол  (см. рис. 8.2), поэтому его проекцию на эту ось следует записать так:

.

Здесь , поэтому

. (8.2)

Здесь R=rСos–кратчайшее расстояние от оси вращения до точки приложения силы называется плечом силы.

Как и следовало ожидать, момент силы относительно осиZзависит от величины её составляющейF_. Две другие составляющие —и— вообще не создают момента относительно осиZ.

Другой важной характеристикой вращательного движения частицы является моментимпульсаотносительно неподвижного центра «0».Это тоже векторная величина. Она равна векторному произведению радиус-вектора частицына её импульс=(рис. 8.3).

. (8.3)

Модуль момента импульса равен:

L=rmVSin=rpSin,

где — угол между векторамии.

Рис. 8.3

Моментом импульса системы материальных точек называется векторная сумма их моментов импульса:

.

Проекция вектора момента импульса на некоторую ось OZ называется моментом импульса частицы (или системы) относительно этой оси:

.

Введение понятий «момент силы» и «момент импульса» обусловлено тем, что эти величины связаны друг с другом. В механике эта связь устанавливается «уравнением моментов».

2. Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек

Рассмотрим систему двух взаимодействующих частиц (рис. 8.4). На этом рисунке и— внутренние силы взаимодействия частиц друг с другом:= –.

Рис. 8.4

и— внешние силы, действующие на частицыm₁иm₂,и— скорости частиц.

Запишем уравнения их движения (уравнения второго закона Ньютона):

+=;

+=.

Умножим векторно первое уравнение на радиус-вектор первой частицы , а второе — на.

. (8.3)

Заметим, что . Действительно,. Первое слагаемое справа равно нулю, так как. Следовательно, здесь векторно умножаются совпадающие векторы. Такое произведение равняется нулю.

Перепишем уравнения системы (8.3), учтя ещё, что :

.

Сложим эти уравнения:

.

Векторы иколлинеарны (см. рис. 8.4), поэтому их векторное произведение равно нулю.

Окончательно это уравнение можно записать в таком виде:

. (8.4)

Здесь: — векторная сумма моментов всех внешних сил относительно центра 0;

— момент импульса силы относительно того же центра.

Это уравнение получило название уравнения моментов относительно неподвижного центра: производная по времени момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.

Уравнение моментов показывает, что изменение момента импульса системы может произойти только в результате действия момента внешних сил. Если внешние силы отсутствуют или их вращающий момент равен нулю = 0, то момент импульса системы остаётся неизменным во времени:

, то есть=сonst.

Спроецировав уравнение (8.4) на произвольную ось Z, получим уравнение моментов относительно этой оси:

.

Производная по времени момента импульса системы относительно оси Z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси.

Если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси будет оставаться постоянным.