
- •Курс общей физики (лекции)
- •Из истории механики
- •Предмет механики. Идеализации физики. Методы задания движения материальной точки
- •Кинематика прямолинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение
- •Примеры прямолинейного движения
- •Равномерное движение
- •Равнопеременное движение
- •Лекция 2 «Кинематика материальной точки»
- •Производная вектора
- •Кинематические характеристики криволинейного движения
- •Скорость движения
- •Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории
- •Движение материальной точки по окружности
- •Лекция 3 «Динамика материальной точки»
- •Основная задача динамики. Законы Ньютона
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона. Сила
- •Третий закон Ньютона
- •Силы в природе
- •Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. «Инертная» и «гравитационная» массы
- •Силы трения
- •Сухое трение
- •Вязкое трение
- •Упругие силы. Закон Гука
- •Пример применения законов Ньютона
- •Лекция 4 «Преобразования Галилея. Динамика системы материальных точек»
- •Преобразования Галилея. Принцип относительности в классической механике
- •Динамика системы материальных точек
- •Закон сохранения импульса
- •Теория о движении центра масс
- •Движение тел переменной массы. Реактивное движение
- •Лекция 5 «Динамика материальной точки»
- •Движение в неинерциальных системах отсчёта
- •Силы инерции, возникающие при ускоренном поступательном движении системы отсчёта
- •Сила инерции, действующая на тело, неподвижное во вращающейся системе отсчёта
- •Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчёта.
- •Лекция 6 «Работа и энергия»
- •Работа и кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы
- •Потенциальная энергия
- •Лекция 7 «Работа и энергия»
- •Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии
- •Работа неконсервативных сил
- •Силы и потенциальная энергия
- •Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
- •Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
- •Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
- •Закон сохранения момента импульса
- •Лекция 9 «Механика твердого тела»
- •Модель твердого тела в механике. Поступательное и вращательное движение твердого тела
- •Основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Примеры вычисления моментов инерции тел
- •Лекция 10 «Механика твёрдого тела»
- •Полная система уравнений, описывающая произвольное движение твердого тела. Условия его равновесия и покоя
- •Энергия движущегося тела
- •Кинетическая энергия твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Скатывание тел с наклонной плоскости
- •Лекция 11 «Элементы механики жидкости»
- •Давление жидкости. Законы гидростатики
- •Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности
- •Основной закон динамики для идеальной жидкости. Уравнение Бернулли
- •Применение уравнения Бернулли для решения задач гидродинамики
- •Истечение жидкости из сосуда
- •Манометрический расходомер
- •Лекция 12 «Механические колебания»
- •Периодические процессы. Гармонические колебания
- •Собственные незатухающие колебания
- •Пружинный осциллятор
- •Математический маятник
- •Собственные колебания физического маятника
- •Сложение гармонических колебаний. Метод векторных диаграмм
- •Лекция 13 «Механические колебания»
- •Энергия гармонического осциллятора
- •Собственные затухающие колебания
- •Вынужденные колебания. Резонанс. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
- •Лекция 14 «Элементы специальной теории относительности»
- •Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца
- •Основное уравнение релятивистской динамики
- •Закон эквивалентности массы и энергии
- •Рекомендуемая литература:
- •Содержание
Лекция 8 «Механика твёрдого тела»
План лекции:
Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси.
Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек.
Закон сохранения момента импульса.
Прежде чем приступить к изучению движения твёрдых тел, необходимо познакомиться с рядом новых физических понятий и характеристик движения.
Момент силы и момент импульса относительно неподвижного центра и неподвижной оси
Рассмотрим движение материальной точки
mпод действием силы.
Положение этой частицы будем задавать
относительно начала неподвижной системы
координат радиус-вектором
(рис. 8.1).
Рис. 8.1
По определению, моментом силы
относительно неподвижного центра0
называется следующее векторное
произведение:
. (8.1)
Вектор момента силы перпендикулярен
плоскости, образованной векторами
и
.
Направление этого вектора связано с
направлениями перемножаемых векторов
«правилом правого винта».
Проекция вектора момента силы на
какую-либо ось называется моментом силы
относительно этой оси. Рассмотрим,
например, момент силы
относительно осиz(рис. 8.2). Разложим
силу
на три составляющие:
здесь: — составляющая, параллельная осиz;
— составляющая, перпендикулярная осиzи действующая вдоль прямой,
проходящей черезz;
— составляющая, перпендикулярная
плоскости, проходящей через ось и точку
приложения силы.
Рис. 8.2
Момент силы
относительно центра 0 можно представить
теперь суммой моментов её составляющих
относительного того же центра.
Действительно, умножим векторно
предыдущее разложение на радиус-вектор
:
.
В этом равенстве все слагаемые — моменты соответствующих сил:
.
Спроецируем это уравнение на ось Z
.
Первые слагаемые равны нулю, так как
векторы
и
перпендикулярны осиZ, поэтому их
проекции наZравны нулю.
Таким образом, момент силы
относительно осиZравен проекции
на эту ось момента силы
относительно центра 0.
Момент силы
относительно неподвижного центра 0:
образует с осью Z угол (см. рис. 8.2), поэтому его проекцию на эту ось следует записать так:
.
Здесь
,
поэтому
. (8.2)
Здесь R=rСos–кратчайшее расстояние от оси вращения до точки приложения силы называется плечом силы.
Как и следовало ожидать, момент силы
относительно осиZзависит от величины
её составляющейF.
Две другие составляющие —
и
— вообще не создают момента относительно
осиZ.
Другой важной характеристикой
вращательного движения частицы является
моментимпульсаотносительно
неподвижного центра «0».Это тоже
векторная величина. Она равна векторному
произведению радиус-вектора частицына её импульс
=
(рис. 8.3).
. (8.3)
Модуль момента импульса равен:
L=rmVSin=rpSin,
где — угол между векторамии
.
Рис. 8.3
Моментом импульса системы материальных точек называется векторная сумма их моментов импульса:
.
Проекция вектора момента импульса на некоторую ось OZ называется моментом импульса частицы (или системы) относительно этой оси:
.
Введение понятий «момент силы» и «момент импульса» обусловлено тем, что эти величины связаны друг с другом. В механике эта связь устанавливается «уравнением моментов».
Уравнение моментов для материальной точки и системы материальных точек
Рассмотрим систему двух взаимодействующих
частиц (рис. 8.4). На этом рисунке
и
— внутренние силы взаимодействия частиц
друг с другом:
= –
.
Рис. 8.4
и
— внешние силы, действующие на частицыm1иm2,
и
— скорости частиц.
Запишем уравнения их движения (уравнения второго закона Ньютона):
+
=
;
+
=
.
Умножим векторно первое уравнение на
радиус-вектор первой частицы
,
а второе — на
.
. (8.3)
Заметим, что
.
Действительно,
.
Первое слагаемое справа равно нулю, так
как
.
Следовательно, здесь векторно умножаются
совпадающие векторы. Такое произведение
равняется нулю.
Перепишем уравнения системы (8.3), учтя
ещё, что
:
.
Сложим эти уравнения:
.
Векторы
и
коллинеарны (см. рис. 8.4), поэтому их
векторное произведение равно нулю.
Окончательно это уравнение можно записать в таком виде:
. (8.4)
Здесь: — векторная сумма моментов всех внешних
сил относительно центра 0;
— момент импульса силы относительно
того же центра.
Это уравнение получило название уравнения моментов относительно неподвижного центра: производная по времени момента импульса системы материальных точек относительно произвольного неподвижного центра равна геометрической сумме моментов всех внешних сил относительно того же центра.
Уравнение моментов показывает, что
изменение момента импульса системы
может произойти только в результате
действия момента внешних сил. Если
внешние силы отсутствуют или их вращающий
момент равен нулю
= 0, то момент импульса системы остаётся
неизменным во времени:
,
то есть
=сonst.
Спроецировав уравнение (8.4) на произвольную ось Z, получим уравнение моментов относительно этой оси:
.
Производная по времени момента импульса системы относительно оси Z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси.
Если сумма моментов внешних сил относительно оси равна нулю, то момент импульса системы относительно этой оси будет оставаться постоянным.