3. Силы и потенциальная энергия

Эту лекцию мы начали с вычисления потенциальной энергии упруго деформированной пружины. Зная характер силы, возникающей при деформации пружины — закон Гука — мы смогли вычислить её энергию.

До этого мы определили потенциальную энергию тела в однородном поле силы тяжести — энергию гравитационного взаимодействия двух частиц. Зная силу электростатического взаимодействия точечных зарядов, можно вычислить и их потенциальную энергию. Теперь зададимся обратной задачей: как определить величину и направление консервативной силы, если известна потенциальная энергия частицы U(x,y,z)?

Рассмотрим перемещение частицы в поле консервативной силы. При таком перемещении будет совершена работа, равная изменению потенциальной энергии частицы с отрицательным знаком:

. (7.2)

Учитывая, что =++и=++, запишем скалярное произведениев следующем виде:

=F_xdx+F_ydy+F_zdz= –dU. (7.3)

Теперь представим, что перемещение осуществляется только вдоль направления х. При этом координатыyиzудерживаются неизменными. Тогдаdy=dz= 0, а уравнение (7.3) примет вид:

F_xx= –U.

Откуда x-компонента искомой силы равна:

. (7.4)

Здесь — частная производная потенциальной энергии по координатеx в предположении, что y и z постоянны. Формально частная производная определяется так:

.

Для y- иz-компонент консервативной силы можно записать выражения, подобные (7.4):

,. (7.5)

Объединив формулы (7.4) и (7.5), получим вектор искомой силы:

. (7.6)

В этом уравнении заключено правило, следуя которому можно преобразовать скалярную функцию Uв векторную —. Вот это правило:

. (7.7)

Оно означает, что следует взять частные производные потенциальной энергии по координатам. Придать этим величинам соответствующие направления, домножив их на единичные векторы, и полученные векторы — компоненты силы — векторно сложить.

Это правило — векторный оператор — называется «градиент» или «набла» и обозначается:

.

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии с противоположным знаком:

. (7.8)

Продолжим рассмотрение движения частицы в потенциальном поле. Потенциальным называется поле консервативных сил.

Если в системе отсутствуют неконсервативные силы, то механическая энергия системы, равная сумме её кинетической и потенциальной энергий, не меняется:

E=E_к+U=сonst.

Так как кинетическая энергия не бывает отрицательной, то UE.

Остановимся, ради простоты, на одномерном движении частицы вдоль оси x. Пусть её полная механическая энергияE=U+E_кинравнаE₁=сonst., а зависимость потенциальной энергии представлена графическиU=U(x) (рис. 7.3).

График энергии E₁=сonst.выделяет несколько областей на осиx. В области 1 отх= 0 дох_Ачастица не может появиться, так как здесь её потенциальная энергияUоказалась бы больше полной энергииE₁. По этой же причине частице недоступна и область 3.

Частица может двигаться в области 2 между точками с координатами х_Аих_Ви в области 4: от точки с координатойх_Сдох.

U

Рис. 7.3

Движение в области 2 — это ограниченное движение в потенциальной яме. Такое движение называется финитным. В положениях х_Аих_Впотенциальная энергия частицы равна её механической энергии (U_A=U_B=E₁), то есть в этих положениях кинетическая энергия и скорость частицы равны нулю.

В точке D потенциальная энергия частицы минимальна, а кинетическая энергия = (Е₁–U_D) достигает максимального значения. В этой точке и скорость частицы максимальна.

Если после точки С (х>х_С) потенциальная энергияUповсюду меньше механической энергии частицыЕ₁, то в этой области движение частицы неограниченно. Такое движение называется инфинитным.