Лекция 6 «Работа и энергия»

План лекции

1. Работа и кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии. Теорема Кёнига.

2. Консервативные и неконсервативные силы.

3. Потенциальная энергия.

1. Работа и кинетическая энергия

По определению, элементарной работой силы на бесконечно малом перемещенииназывается скалярное произведение этих двух векторов (рис. 6.1):

. (6.1)

α — угол между векторами и,F_S=FCosα — проекция силына направление перемещения.

Рис. 6.1

Работа силы — скалярная величина, которая может быть как положительной, так и отрицательной.

Формально знак работы определяется знаком косинуса. Если — Cosα > 0 и работа силы положительна. Сила, направленная в сторону противоположную смещению, совершает отрицательную работу. Если вектор силы образует с вектором перемещения или скорости прямой угол, то работа такой силы равна нулю. Так, работу не производит центростремительная сила при движении по круговой орбите, сила тяжести и сила реакции опоры при перемещении тела по горизонтальной поверхности.

Для того чтобы вычислить работу на конечном участке траектории, нужно рассмотреть криволинейный интеграл вектора вдоль этого участка траектории:

. (6.2)

Если в процессе движения на тело действует система сил ,, …,, то работа их равнодействующей равна алгебраической сумме работ каждой силы в отдельности. Показать это несложно. Спроецируем векторное уравнение=++ … +на направление элементарного перемещения:

F_S=F_1S+F_2S+ … +F_nS.

Теперь, умножив это уравнение на dS, получим искомый результат:

F_SdS=F_1SdS+F_2SdS+ … + F_nSdS,

то есть:

.

Элементарная работа равнодействующей нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Это утверждение справедливо и для работ на конечном участке траектории:

.

В системе СИ работа измеряется в джоулях:

1 Дж = 1 Н 1 м.

Работа, выполняемая в единицу времени, называется мощностью:

.

Мощность — важная характеристика любого механизма. Единицей мощности является 1 Ватт. Это мощность устройства, которое ежесекундно совершает работу 1 Дж:

1 Вт = .

Теперь обратимся к теореме о кинетической энергии. Работа силы при перемещении материальной точки равна изменению кинетической энергии этой точки. Докажем это положение.

Материальная точка массы mдвижется под действием силы. Вычислим работу силы на участке 1-2 траектории.

. (6.3)

Здесь мы воспользовались определением вектора силыи кинематическим уравнением движения.

Будем считать, что масса частицы в процессе движения не меняется, тогда:

.

Воспользуемся этим результатом в уравнении (6.3):

. (6.4)

Теперь проделаем следующее очевидное преобразование: так как V²=, то 2VdV=или=VdV.

Используя это равенство в уравнении (6.4), получим окончательный результат:

. (6.5)

Величина =Е_кназывается кинетической энергией материальной точки.

Уравнение (6.5) является математической записью теоремы о кинетической энергии: работа силы, действующей на материальную точку, равна изменению её кинетической энергии.

Важность и смысл введения понятия «работа силы» объясняется именно тем, что работа связана с изменением кинетической энергии тела:

. (6.6)

Кинетическая энергия системы тел принимается равной сумме кинетических энергий всех элементов системы.

Теорема о кинетической энергии остаётся справедливой и для случая системы тел: работа всех сил, действующих на систему материальных тел, равна изменению кинетической энергии этой системы.

Здесь важно подчеркнуть, что речь идёт о работе не только внешних сил, но и внутренних, то есть сил взаимодействия элементов системы друг с другом.

Теорема Кёнига: скорость частицы и её кинетическая энергия зависят от системы отсчёта, в которой рассматривается движение частицы.

В теореме Кёнига устанавливается правило преобразования кинетической энергии при переходе из одной системы отсчёта в другую.

Рассмотрим сначала одну частицу. Пусть её кинетическая энергия в системе отсчёта SравнаЕ_к. Какова будет её энергияв системе отсчётаS’, движущейся со скоростьюотносительноS? Скорости частицы в этих двух системах связаны известным соотношением (смотри преобразования Галилея):

.

Возведём это равенство в квадрат

и домножим на

.

Таким образом, устанавливается связь кинетических энергий частицы в разных системах отсчёта:

. (6.7)

Обобщим этот результат на произвольную систему nматериальных точек.

Для каждой частицы системы можно записать уравнение (6.7). Теперь сложим все эти уравнения:

. (6.8)

Здесь: =К — кинетическая энергия системы материальных точек в системе отсчётаS.

=— кинетическая энергия той же системы в системе отсчётаS’.

==, гдеМ=— масса системы.

===,

где — скорость центра масс системы материальных точек в системе отсчётаS’.

Таким образом, уравнению (6.8) можно придать такой вид:

К=++. (6.9)

Если движущуюся систему отсчёта S’ связать с центром масс, то в такой системе= 0. Формула теоремы Кёнига в этом случае упрощается:

(6.10)

Подводя итог, сформулируем теорему Кёнига. Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.