Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Uchebnye_karty_Chast_2

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
11.02.2015
Размер:
1.24 Mб
Скачать

20

18. Векторное поле. Характеристики векторного поля

Понятие

Определение и назначение

Геометрическое изображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Каждой точке M (x, y, z)

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M(x,y,z)

 

P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – проекция вектора

 

(M )

1.Векторное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствует значение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

поле a

векторной функции

 

 

 

 

 

a(M)

 

 

на оси ox , oy , oz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)}

 

 

x

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a(M2)

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.векторная

Линия, во всякой точке которой

 

a(M1)

 

 

 

a(M )

 

 

 

 

 

 

=

Q(x, y, z)

=

 

R(x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(силовая) линия

вектор a направлен по

 

 

 

 

 

 

 

3

 

P(x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M2

M3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля a

касательной к ней.

 

 

 

 

Система дифференциальных уравнений, определяющая

 

M1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

векторные линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

ni

 

a(Mi )

a = {P,Q, R}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П =

 

 

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q : z = f (x, y) z f (x, y) = 0

,f

,1}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

a(Mi ) ni0 qi =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

grad(z f (x, y))

 

 

 

 

 

 

{f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max qi 0 i1

 

 

 

 

 

 

 

qi

 

Q

n

0 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad(z f (x, y))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Поток поля a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( fx)2 + ( f )2 +1

 

 

 

 

 

 

R

 

R 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

= ∫∫a(M )n

(M )dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dq =

 

 

( f

)2

+ ( f )2 +1 dxdy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхность Q

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- единичный вектор

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

П = ∫∫[P(x, y,z)(fx) + Q(x, y, z)×(fy) + R(x, y, z)]dxdydz,

 

где n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нормали к поверхности

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где z = f (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

= {P,Q, R}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

1

 

R R

 

 

 

 

 

 

 

 

M

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

diva = a =

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

 

, =

 

i +

 

 

j +

 

k -

 

 

 

V0 V ∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Дивергенция

diva(M ) = lim

 

 

a n0dq

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

 

R

 

P

 

 

 

Q

 

 

 

 

R

R

 

 

R

R

R

(расходимость

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V -объем, ограниченный

 

 

(M ) > 0;

 

 

(M )< 0

оператор Гамильтона, ( - набла)

 

 

 

 

 

 

 

 

поля)

поверхностью

 

diva

diva

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поле a - соленоидальное (трубчатое), если diva = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. M - исток;

т. M - сток

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

z=f2 (x,y)

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Гаусса –

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {P,Q, R}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Поток поля a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Остроградского (связь между

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R: f1 (x, y) z f2 (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через

потоком и дивергенцией поля)

 

 

 

 

 

 

 

 

z=f1 (x,y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замкнутую

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

Q

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

0

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхность Q

∫∫a

n

dq =

∫∫∫diva dV

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

П = ∫∫∫(

 

 

+

 

 

 

 

+

 

 

 

)dxdydz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

Dxy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = {P,Q, R}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

R

=

 

 

 

 

 

 

 

R

 

R

Q R

 

P

R R

 

Q

P R

 

 

 

 

rota

= × a

 

 

 

 

 

 

 

rota

=

 

i

+

 

 

j

+

 

k

 

 

 

R

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

z

 

 

x

 

x

 

 

 

 

6. Ротор (вихрь)

 

 

i

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поле a(M) – потенциальное (безвихревое) если rota = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля a

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

z

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U(M ) = P(x, y0 , z0 )dx + Q(x, y, z0 )dy + R(x, y, z)dz + C -

 

 

P(x, y, z)

Q(x, y, z)

R(x, y, z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциал поля a(M )

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= {P,Q, R}

 

 

 

 

7. Работа поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

a(M)

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г : x = x(t), y = y(t), z = z(t),α t β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

B

 

 

 

 

a(M ) по

 

 

 

 

R

 

 

 

R

 

 

 

li

 

β

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = lim

 

)

li

 

dl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перемещению

a(Mi

= a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

точки вдоль

 

D( l)0

i=1

 

 

 

 

L

 

 

A

 

y

A = [P(x(t), y(t), z(t))x

(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y

 

(t) +

кривой L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

+ R(x(t), y(t), z(t))z' (t)]dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zL

8. Циркуляция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляется аналогично пункту 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поля a по

 

 

Ц = a

dl

 

 

 

 

 

А=Ц, если Г – замкнутый контур.

 

 

 

 

 

контуру L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(В потенциальном поле Ц=0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Циркуляция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

n0

a = {P,Q, R}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad(z f (x, y))

 

 

 

 

поля a(M ) по

Формула Стокса устанавливает

 

 

Q

Q : z = f (x, y),n0

=

 

 

 

 

замкнутому

связь потока вектора rota с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad(z f (x, y))

 

 

 

 

контуру L ,

циркуляцией поля

 

 

 

 

 

 

 

 

L

R

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

R

 

 

 

 

 

 

 

'

2

'

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

являющемся

Ц = a dl

= ∫∫rot a

n

0 dq

x

 

y

rota = × a

(см п. 5), dq = 1+ ( fx )

 

+ ( f y

)

 

dxdy

границей

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц = ∫∫rota n0dq вычисляется как в пункте 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхности Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dxy - проекция Q на xoy

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Грина устанавливает

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.Циркуляция

y

 

y=f2(x)

a = P(x, y)i + Q(x, y) j

 

 

 

 

 

связь вихря с циркуляцией

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

плоского поля

 

 

D

D : f1 (x) y f2 (x)

 

 

 

 

 

плоского поля

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a по

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

P

 

 

y=f1(x)

 

Q P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

замкнутому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫∫

 

 

0 a

b

x

 

∫∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц = A =

 

a dl

=

 

 

dxdy

 

 

 

Ц = A =

 

 

 

 

 

dxdy

 

 

 

 

 

контуру L

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D x

 

y

 

 

 

 

D

 

x

 

y

 

 

 

 

 

19. Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Тип уравнения

 

 

Вид уравнения

 

Признак типа уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указания к решению уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = f (x)dx + c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y′ =

f (x)

а) нет явно y

 

 

 

б)

y

= p(x) q(y)

y

 

 

= p(x)dx + c

 

 

 

1. Уравнение с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

f (x, y) = p(x) q(y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

разделяющимися

б)

y′ =

f (x, y)

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q(y)

 

 

 

 

 

 

 

в)

P(x, y) = p1

(x) p2 (y),

 

p1 (x) p2 (y)dx + q1(x) q2 (y)dy = 0

 

 

 

 

 

 

переменными

в)

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

в)

 

 

 

 

 

 

 

Q(x, y) = q1

(x) q2 (y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p1

(x)

dx +

 

q2 (y)

dy = c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q (x)

 

p

2

(y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

y

= u y = u x, y′ =

du

x + u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (tx,ty) = t0 f (x, y) = f (1,

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y′ = f (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Однородное

 

 

 

 

 

y

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

б) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

 

P(tx,ty) = tk P(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

x = f (1,u) u уравнение типа 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q(tx,ty) = tk Q(x, y)

б)

 

y′ = −

 

 

= f (x, y) уравнение вида 2 а)

 

 

 

 

 

 

 

Q(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y0)dx + Q(x, y)dy = c или

 

 

 

 

 

 

 

3. Уравнение в

 

 

 

P

 

Q

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

=

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y)dx + Q(x0, y)dy = c ,

 

 

 

 

 

 

 

дифференциалах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где (x0, y0) точка области определения P(x, y) и Q(x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = u v, y′ =

du

v +

dv

u;

du

v +

dv

u +

p(x) uv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = f (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

dx

dx

q(x)

 

4. Линейное

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

f (x, y) = p(x) y + q(x)

 

 

= p(x) u,

 

 

 

 

u = ep(x)dx

= ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ + P(x)y = q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

=

q(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

u = q(x)

 

 

 

v

 

 

 

 

 

dx + c

y = u v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ(x)

 

 

 

 

 

 

 

5. Уравнение

y′ = f (x, y)

f (x, y) = p(x) y + q(x) yk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бернулли

или

 

Решается тем же методом, что тип 4.

 

 

 

(линейное

 

k 0,k 1

 

 

 

 

 

 

y′ + P(x)y = q(x)yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обобщенное)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Замечание. Если удобнее рассматривать уравнение не в виде y′ = f (x, y) , а в виде x′ = f (x, y), где x′ =

1

=

dx

, то всюду в указаниях к

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решению уравнения y′ = f (x, y) надо поменять местами x и y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид уравнения

 

Признаки

 

Метод понижения порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

Частный вид при n=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нет явно

Последовательное интегрирование (n-

 

y′′ = f (x)

последовательное

 

 

1. y

(n)

= f (x)

или F(x, y

(n)

) = 0

 

интегрирование (2 раза)

 

 

y, y, y′′,...y(n−1)

 

 

 

 

 

квадратур)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ϕ(x,c1,c2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y, y′′) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нет явно

y(k) = z,

z = z(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. F(x, y

(k)

, y

(k+1)

,...y

(n)

) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

явно нет y

 

 

 

 

 

 

y, y, y′′,...y(k−1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= z(x) ,

y

′′

= z

F(x,z, z

= 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n) = z(nk) (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка y′ = P,

P = P(y)

 

 

 

 

 

 

F(y, y′′) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

явно нет x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

(n)

) = 0

 

 

 

явно нет x

 

dP

 

d

2

P

dP

 

2

 

 

 

 

y′ = P(y),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. F(y, y , y , y

 

 

 

 

 

y′′ =

P, y′′′ =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P2 +

 

 

 

 

P,...

 

 

 

 

 

dP

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′ =

P F(P,P) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

dy

 

Dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Применяются последовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

 

 

 

 

 

 

4. F(y(k) , y(k+1) ,...y(n) ) = 0

 

 

подстановки y(k) = z(x) и z′ = P ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

обладает признаками видов

 

 

 

 

F(y , y

) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 и 3

P = P(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = z , z = z(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

 

 

 

 

 

 

 

 

Вид уравнения:

 

 

 

 

 

 

 

Характер корней характеристического уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корни

 

Корни действительные,

Корни комплексные,

 

Корни комплексные, есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действительные,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

различные

 

 

 

 

 

y(n)

+ p

y(n−1) +...+ p

 

y = 0

есть повторяющиеся, т.е.

 

повторяющиеся

 

 

 

 

 

 

различные,

 

 

 

 

 

n

 

k1,2 = α1 ± β1 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

k

 

= k

 

= k

 

= ... = k

 

= k

 

α ± β i

- пара корней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pi - числа

 

 

 

т. е.

 

1

2

3

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k3,4 = α 2 ± β 2 i и т. д.

 

 

кратности m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1

k2 k3

... kn

 

(корень кратности m)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= c1 y1 + c2 y2 + ...+ cn yn - общее

 

Вид частных решений y1, y2 , y3...yn , соответствующих корням характеристического уравнения

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

решение денного уравнения, где

 

 

 

 

 

 

 

y1 = e

k x

 

 

 

α1 x

 

 

 

αx

c ,c

2

,c

3

...c

n

- произвольные постоянные,

 

y1 = ek1 x ,

 

 

 

 

,k x

 

 

y1 = e α1 x

cosβ1x,

 

y1 = e

αx cosβx,

1

 

 

 

 

 

 

 

y2 = e

k2 x

,

 

 

 

y2 = x e , ,

 

 

y2 = e

sinβ1x,

 

y2

= e

sin βx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 , y2 , y3 ...yn - фундаментальная система

 

 

 

 

 

y3 = x2 ek x ,

 

 

y3 = eα2 x

cosβ2 x,

 

y3

= x eαx cosβx,

решений данного уравнения.

 

M

 

 

M

. . . . . . . . . . . .

 

 

M

 

 

k n + p1 k n1 +...+ pn = 0

-

yn = ekn x

ym = xm1 ek x

 

ym1 = xm1 eα x cosβx

 

y

 

= ekm+1 x

 

ym = x

m1

e

α x

sinβx

характеристическое уравнение

 

m+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. . . . . . . . . . . .

 

 

 

 

 

 

24

25

22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Вид уравнения:

y(n) + p1 y(n1) +...+ pn y = f (x)

Структура общего решения: y = y + y* ,

где y - общее решение соответствующего однородного уравнения,

y* - частное решение неоднородного уравнения.

Если y1 - частное решение уравнения

*

y(n) + p1 y(n1) +...+ pn y = f1 (x) y2 - частное решение уравнения

*

y(n) + p1 y(n1) +...+ pn y = f2 (x) , то y1+ y2 - частное решение

**

уравнения

y(n) + p1 y(n1) +...+ pn y = f1 (x) + f2 (x)

 

Метод вариации произвольных постоянных

 

 

 

Метод подбора частного решения

 

 

 

 

 

 

Если y1, y2 ,...yn

- фундаментальная система

 

f (x) = eα x [P (x) cosβx + Q (x) sinβx]-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

m

 

 

 

 

решений соответствующего однородного

специальный вид правой части

 

уравнения, то общее решение неоднородного

неоднородного уравнения (пусть n > m)

уравнения находится по формуле

 

 

Частное решение y* ищется в виде

 

y = c1 (x) y1 +...+ cn (x) yn ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= xr eα x

 

 

cos βx +

 

 

 

sin βx]

 

 

 

 

 

y

 

[P (x)

Q

 

(x)

,

если

 

= c1 y1 + c2 y2 + ...+ cn yn

 

 

 

 

*

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

y

 

 

где r – кратность корней α ± β i

 

где ci (x),(i = 1,2...n) находится из системы

 

характеристического уравнения:

 

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pn (x) = An x

n

+ An1 x

+ ...+ A1 x + A0

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x) yi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Qn (x) = Bn xn + Bn1 xn1 +...+ B1 x + B0

 

ci

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

То есть y

 

зависит от правой части

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

ci(x) yi′ = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) и от корней характеристического

i=1

 

 

 

 

 

 

 

ci (x) = ci(x)dx + ci ,i = 1,2...n

уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(x) yi

(n2) = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ci

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

(x) yi

(n1) = f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ci

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частный случай: n = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = c1 (x) y1 + c2 (x) y2 ,

 

= c1 y1 + c2 y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где c1(x) и c2 (x) находятся из системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

(x) y + c

(x)

y

 

= 0,

 

 

найти c

(x) и c(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

2

(x)

y

2

= f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

(x) y′ + c

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

1

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1(x) = c1(x)dx + c1, c2 (x) = c2(x)dx + c2 ,

где c1,c2 - постоянные

23. Числовые ряды. Основные понятия

 

Понятие

 

 

Определение и обозначение

 

 

п/п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Ряд

 

 

Un

= U1 +U2 +U3 +...+Un + ...

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

2.

Члены ряда, общий ( n – ый ) член

 

 

U1 ,U2 ,U3 ,...Un - бесконечная числовая

 

ряда

 

 

последовательность, где Un = f (n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1 = U1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S2 = U1 +U2 ,

 

 

 

3.

Частичные суммы ряда

 

 

S3 = U1 +U2 +U3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn = U1 +U2 +U3 + ...+Un ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Последовательность частичных сумм

 

S1, S2 , S3 ,...Sn ,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Сходящиеся ряды

 

 

lim Sn

= S , где S – сумма ряда

 

 

 

 

Un

= S

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim Sn

=

 

 

 

6.

Расходящиеся ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

не существует

 

 

 

 

 

 

 

U +U

2 +U3 +...+Un

+Un+1 +Un+2

+...+

 

7.

Остаток ряда

 

 

14444244443

14424443

 

 

 

 

 

Sn

Rn

 

 

 

 

 

 

 

Rn = U n+1 +Un+2 +...

 

 

 

 

 

Основные свойства сходящихся рядов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

сходится

 

Rn - сходится

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

сходится, S – его сумма

 

λ Un сходится, λS - его сумма

 

n=1

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

сходится, S – его сумма

 

 

(Un ±Vn ) - сходится

 

 

n=1

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

сходится, σ – его сумма

 

 

S + σ - его сумма

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Необходимый признак сходимости ряда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

- сходится

 

limUn = 0

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание: limUn 0

 

Un - расходится

 

 

n=1

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Числовые ряды с положительными членами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение Un

= U1 +U2 +U3 +...+Un +..., Un

> 0, n, Un - действительные числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = 1+ 1 + 1 + ... + 1 + ... расходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

Гармонический ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n

2

3

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Обобщенный гармонический ряд

1

при

p > 1сходится

 

(p > 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Некоторые ряды и их

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n p

 

p 1

расходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

(a ≠ 0)

 

 

 

 

 

поведение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a qn

q < 1сходится S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ряд геометрический

 

 

 

 

при

 

 

 

 

 

 

 

1- q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0

q 1расходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности при a = 1,

q = 1 ряды

 

1+1+1+ ...+1+ ...

 

расходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+1...+ (1)

n

+...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

 

 

 

 

 

 

 

 

Признаки сравнения

 

 

 

Интегральный признак Коши

 

 

 

 

Признак Даламбера

Признак Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

Un

= U1 +U2

+U3 + ...+Un + ...

(1)

 

 

 

Un ,

 

 

Un

= U1 +U2 +...+Un +Un+1...

Un

= U1 + U2

+ ... + Un ...

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U1 U2 U3 ... Un ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim Un+1 = l

 

 

 

 

 

 

 

Vn

= V1 +V2 +V3 + ...+Vn

+...

 

(2)

 

 

 

 

 

 

lim n Un = l

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ U

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) x > 1 : непрерывная,

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

Vn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

положительная,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. lim

 

 

= A(0 < A < ∞)

 

Un

и Vn

 

 

 

 

а) l < 1 Un

- сход.

а) l < 1 Un

- сход.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞ U

n

 

 

 

 

n=1

 

n=1

невозрастающая

f (n) = Un

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0 ,

lim Vn = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

lim Un

 

 

одновременно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

n→∞

 

 

сходятся или

 

 

 

 

 

 

 

 

б) l > 1 Un

- расход.

б) l > 1 Un

- расход.

 

(при

A = 1 U n Vn )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

расходятся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание:

 

 

 

 

 

 

 

2. а) Un

Vn ,Vn сход.

 

Un

сход

 

 

 

 

 

 

1. Если l =1, то признак Даламбера и Коши не дают ответа о

 

 

 

 

 

сход.

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n=1

 

 

 

A Un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

поведении ряда.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx =

 

 

 

 

2. Признак Даламбера иногда используется без предельного

 

б) Un

Vn ,Un расход.

 

Vn

расход.

1

 

Un

расход.

 

перехода:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

m=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание: В качестве рядов для сравнения

Замечание:

 

 

 

 

 

Un+1

< 1 Un

сход., Un+1 > 1 Un

расход.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

Un

 

 

n=1

 

 

Un

n=1

 

 

 

удобно выбирать ряды

и a qn

f (x)dx = lim f (x)dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 n

p

n=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Знакопеременные числовые ряды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un = U1 +U2 +U3 + ...+Un '+..., Un - действительные числа

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определение

 

произвольного признака

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В частности, (1)n1 n = U1 U2 +U3 ..., Un > 0, n -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знакочередующийся ряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Абсолютная и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Un

и

 

Un

 

сходятся Un - абсолютно сходится

 

 

 

 

 

 

условная

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

n=1

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знакопеременных

 

2. Un

сходится, а

 

Un

 

расходится

Un - условно сходится

 

 

 

 

рядов

 

n=1

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов

 

 

 

 

Признак абсолютной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Признак Лейбница

 

 

 

 

 

 

 

 

сходимости

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un - знакопеременный

 

1) U1 U2

+U3 ... = (1)n1 Un

(1)n1 Un

сходится

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

n=1

 

 

 

 

 

2) U1 > U2

> U3

> ... > Un > ...

 

 

S

 

< U1

 

 

 

 

 

 

 

 

Un

 

сходится

Un

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

n=1

 

3) lim Un = 0

 

 

 

 

R

n

 

< U

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

абсолютно сходится

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечание:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. В сходящемся знакочередующемся ряде U U2 +U3 ...+ (1)n1 Un + (1)nUn+1

+ ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1444442444443

 

1442443

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sn

 

 

 

 

 

 

 

Rn

 

сумма S может быть заменена Sn (S Sn ). Получаемая погрешность Rn = S Sn < Un+1

2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

производной. Если

 

Un

 

'< 0 с некоторого номера, то члены ряда

 

Un

 

убывают с этого

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

номера.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Если расходимость ряда

 

Un

 

 

установлена признаком Даламбера или признаком

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коши, то и ряд Un

 

расходится, т. к. если lim

 

> 1 или lim n

 

Un

 

 

> 1, то limUn 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

Un

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм исследования знакопеременного ряда Un на сходимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда

 

Un

 

и исследовать его

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

сходимость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. а)

 

Un

 

 

 

сходится Un абсолютно сходится; б)

 

Un

 

расходится 3 исследуй

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

n=1

 

 

3. Проверить условия признака Лейбница

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если 1) члены чередуются по знаку;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

U1

 

>

 

U2

 

>

 

U3

 

> ...;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) lim

 

Un

 

= 0 то 1) Un

сходится по признаку Лейбница

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

2) Un условно сходится, т. к.

 

Un

 

расходится

 

 

 

n=1

 

n=1

26. Функциональные ряды. Основные понятия

 

 

 

Понятие

 

Определение и обозначение

 

 

 

1. Функциональный ряд

U1(x) +U2(x) + ...+Un (x) + ... = Un (x)

 

 

 

n=1

2. Члены ряда

U1(x),U2(x),...,Un (x),... - функции от x

 

 

 

 

 

 

3. Сходимость ряда в точке

Un (x0 )

сходится

Un (x) сходится в т. x0

n=1

 

n=1

x0

 

 

Un (x0 )

расходится

Un (x) расходится в т. x0

 

n=1

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

Un (x) сходится x D D - область сходимости; D -

n=1

4.Область сходимости ряда находится:

 

 

 

 

 

Un+1(x)

 

 

 

 

l(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

l(x)

 

< 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

=

 

 

< 1 или lim n

 

U

n

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n→∞

U

 

(x)

 

 

 

 

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Последовательность

 

S1(x), S2 (x),..., Sn (x),..., где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

частичных сумм

 

Sn (x) = U1(x) +U2 (x) + ...+Un (x), n = 1,2,3...

6. Сумма сходящегося ряда

lim Sn (x) = S(x), x D S(x) - сумма ряда

 

 

n→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Остаток ряда

 

Rn (x) = S(x) Sn (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Равномерная сходимость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε > 0 N(ε) : n N(ε) и x D

 

Rn (x)

 

< ε

 

 

 

ряда Un (x) на D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Абсолютная и

 

1.

 

Un (x)

 

Un , n и x D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равномерная сходимость

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Un (x) - сходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

ряда (признак

 

2. числовой ряд Un

-

 

 

 

 

 

 

абсолютно и равномерно

Вейерштрасса)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сходится

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства равномерно сходящихся рядов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. S(x) - непрерывна на D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

1. Un (x) = U1(x) +U2 (x) + ...+Un (x) + ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. U1(x)dx + ...+ Un (x)dx + ... = S(x)dx , где

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- равномерно сходится на D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

[a,b] D (почленное интегрирование)

2. Un (x) - непрерывна n и x D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. ∑∫Un

(x)dx - равномерно сходится на D ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. S(x) - его сумма S(x) = Un (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=1 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где [a, x] D

1. Un (x) = U1(x) + ... + Un (x) + ... -

n=1

сходится на D , S(x) - его сумма

2.Un (x) - дифференцируемые n и x D

3.Un(x) - непрерывны n и x D

1. Un (x) - равномерно сходится на D

n=1

2.Un(x) = U1(x) + ...+ Un(x) + ... = S(x) x D

n=1

(почленное дифференцирование)

29

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]