
Uchebnye_karty_Chast_2
.pdf
20
18. Векторное поле. Характеристики векторного поля
Понятие |
Определение и назначение |
Геометрическое изображение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Каждой точке M (x, y, z) |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
M(x,y,z) |
|
P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) – проекция вектора |
|
(M ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.Векторное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствует значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поле a |
векторной функции |
|
|
|
|
|
a(M) |
|
|
на оси ox , oy , oz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a = {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(M2) |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.векторная |
Линия, во всякой точке которой |
|
a(M1) |
|
|
|
a(M ) |
|
|
|
|
|
|
= |
Q(x, y, z) |
= |
|
R(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(силовая) линия |
вектор a направлен по |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
P(x, y, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
M2 |
M3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
поля a |
касательной к ней. |
|
|
|
|
Система дифференциальных уравнений, определяющая |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторные линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
ni |
|
a(Mi ) |
a = {P,Q, R} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П = |
|
|
|
∞ R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q : z = f (x, y) z − f (x, y) = 0 |
′,− f |
′,1} |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
∑a(Mi ) ni0 qi = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
grad(z − f (x, y)) |
|
|
|
|
|
|
{− f |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
max qi →0 i−1 |
|
|
|
|
|
|
|
qi |
|
Q |
n |
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad(z − f (x, y)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
3.Поток поля a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( fx′)2 + ( f ′)2 +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
R 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
через |
= ∫∫a(M )n |
(M )dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dq = |
|
|
( f |
′)2 |
+ ( f ′)2 +1 dxdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
поверхность Q |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
R 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- единичный вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
П = ∫∫[P(x, y,z)(− fx′) + Q(x, y, z)×(− fy′) + R(x, y, z)]dxdydz, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
где n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормали к поверхности |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где z = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
= {P,Q, R} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
|
|
1 |
|
R R |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
поля |
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
diva = a = |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
, = |
|
i + |
|
|
j + |
|
k - |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
V→0 V ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4. Дивергенция |
diva(M ) = lim |
|
|
a n0dq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
R |
|
∂P |
|
|
|
∂Q |
|
|
|
|
∂R |
R |
|
|
∂ |
R |
∂ |
R |
∂ R |
|||||||||||||
(расходимость |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V -объем, ограниченный |
|
|
(M ) > 0; |
|
|
(M )< 0 |
оператор Гамильтона, ( - набла) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поля) |
поверхностью |
|
diva |
diva |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поле a - соленоидальное (трубчатое), если diva = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. M - исток; |
т. M - сток |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z=f2 (x,y) |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Формула Гаусса – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {P,Q, R} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Поток поля a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Остроградского (связь между |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R: f1 (x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
через |
потоком и дивергенцией поля) |
|
|
|
|
|
|
|
|
z=f1 (x,y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
замкнутую |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂P |
|
|
∂Q |
|
|
∂R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
R |
R |
0 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
поверхность Q |
∫∫a |
n |
dq = |
∫∫∫diva dV |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
П = ∫∫∫( |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
)dxdydz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Q |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Dxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = {P,Q, R} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
R |
|
|
R |
= |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
∂R |
− |
∂Q R |
|
∂P |
− |
∂R R |
|
∂Q |
− |
∂P R |
||||
|
|
|
|
rota |
= × a |
|
|
|
|
|
|
|
rota |
= |
|
i |
+ |
|
|
j |
+ |
|
k |
||||||||||
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
∂x |
|
∂x |
|
|
|
|
||
6. Ротор (вихрь) |
|
|
i |
|
|
j |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поле a(M) – потенциальное (безвихревое) если rota = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
поля a |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z |
|
|
||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U(M ) = ∫P(x, y0 , z0 )dx + ∫Q(x, y, z0 )dy + ∫R(x, y, z)dz + C - |
||||||||||||||||||||
|
|
P(x, y, z) |
Q(x, y, z) |
R(x, y, z) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
z0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
потенциал поля a(M ) |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= {P,Q, R} |
|
|
|
|
||||
7. Работа поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
a(M) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г : x = x(t), y = y(t), z = z(t),α ≤ t ≤ β |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
R |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
B |
|
|
|
|
|||||||||||||
a(M ) по |
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|
|
|
li |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A = lim |
|
) |
li |
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
перемещению |
∑a(Mi |
= ∫a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|||||||||||
точки вдоль |
|
D( l)→0 |
i=1 |
|
|
|
|
L |
|
|
A |
|
y |
A = ∫[P(x(t), y(t), z(t))x |
(t) +Q(x(t), y(t), z(t))y |
|
(t) + |
||||||||||||||||
кривой L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ R(x(t), y(t), z(t))z' (t)]dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zL
8. Циркуляция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляется аналогично пункту 7. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
поля a по |
|
|
Ц = ∫a |
dl |
|
|
|
|
|
А=Ц, если Г – замкнутый контур. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
контуру L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(В потенциальном поле Ц=0). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Циркуляция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
n0 |
a = {P,Q, R} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad(z − f (x, y)) |
|
|
|
|
|||
поля a(M ) по |
Формула Стокса устанавливает |
|
|
Q |
Q : z = f (x, y),n0 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
замкнутому |
связь потока вектора rota с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
grad(z − f (x, y)) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
контуру L , |
циркуляцией поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
|
' |
2 |
' |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
являющемся |
Ц = ∫a dl |
= ∫∫rot a |
n |
0 dq |
x |
|
y |
rota = × a |
(см п. 5), dq = 1+ ( fx ) |
|
+ ( f y |
) |
|
dxdy |
|||||||||||||||||||||
границей |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц = ∫∫rota n0dq вычисляется как в пункте 3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dxy - проекция Q на xoy |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Грина устанавливает |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
10.Циркуляция |
y |
|
y=f2(x) |
a = P(x, y)i + Q(x, y) j |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
связь вихря с циркуляцией |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
плоского поля |
|
|
D |
D : f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
плоского поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a по |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q |
|
∂P |
|
|
y=f1(x) |
|
∂Q ∂P |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
замкнутому |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫∫ |
|
|
0 a |
b |
x |
|
∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ц = A = |
|
a dl |
= |
|
|
− |
dxdy |
|
|
|
Ц = A = |
|
|
|
− |
|
|
dxdy |
|
|
|
|
|
||||||||||||
контуру L |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D ∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
D |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
19. Дифференциальные уравнения первого порядка
|
Тип уравнения |
|
|
Вид уравнения |
|
Признак типа уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Указания к решению уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) y = ∫ f (x)dx + c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
а) |
y′ = |
f (x) |
а) нет явно y |
|
|
|
б) |
∂y |
= p(x) q(y) ∫ |
∂y |
|
|
= ∫ p(x)dx + c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Уравнение с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) |
f (x, y) = p(x) q(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
разделяющимися |
б) |
y′ = |
f (x, y) |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q(y) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
в) |
P(x, y) = p1 |
(x) p2 (y), |
|
p1 (x) p2 (y)dx + q1(x) q2 (y)dy = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
переменными |
в) |
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 |
в) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Q(x, y) = q1 |
(x) q2 (y) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
p1 |
(x) |
dx + ∫ |
|
q2 (y) |
dy = c |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q (x) |
|
p |
2 |
(y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
y |
= u y = u x, y′ = |
du |
x + u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (tx,ty) = t0 f (x, y) = f (1, |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
а) |
) |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
а) y′ = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2. Однородное |
|
|
|
|
|
y |
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
уравнение |
б) P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 |
|
P(tx,ty) = tk P(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = f (1,u) − u уравнение типа 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Q(tx,ty) = tk Q(x, y) |
б) |
|
y′ = − |
|
|
= f (x, y) уравнение вида 2 а) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫P(x, y0)dx + ∫Q(x, y)dy = c или |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Уравнение в |
|
|
|
∂P |
|
∂Q |
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 |
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
полных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
∫P(x, y)dx + ∫Q(x0, y)dy = c , |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
дифференциалах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где (x0, y0) точка области определения P(x, y) и Q(x, y) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = u v, y′ = |
du |
v + |
dv |
u; |
du |
v + |
dv |
u + |
p(x) uv |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y′ = f (x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
dx |
q(x) |
|||||||||||||
|
4. Линейное |
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
или |
|
f (x, y) = p(x) y + q(x) |
|
|
= p(x) u, |
|
|
|
|
u = e−∫ p(x)dx |
= ϕ(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ + P(x)y = q(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
q(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
u = q(x) |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
dx + c |
y = u v |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5. Уравнение |
y′ = f (x, y) |
f (x, y) = p(x) y + q(x) yk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Бернулли |
или |
|
Решается тем же методом, что тип 4. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(линейное |
|
k ≠ 0,k ≠ 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ + P(x)y = q(x)yk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
обобщенное) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
Замечание. Если удобнее рассматривать уравнение не в виде y′ = f (x, y) , а в виде x′ = f (x, y), где x′ = |
1 |
= |
dx |
, то всюду в указаниях к |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
решению уравнения y′ = f (x, y) надо поменять местами x и y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
20. Виды дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Вид уравнения |
|
Признаки |
|
Метод понижения порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
Частный вид при n=2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет явно |
Последовательное интегрирование (n- |
|
y′′ = f (x) |
последовательное |
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. y |
(n) |
= f (x) |
или F(x, y |
(n) |
) = 0 |
|
интегрирование (2 раза) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
y, y′, y′′,...y(n−1) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
квадратур) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ϕ(x,c1,c2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y′, y′′) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет явно |
y(k) = z, |
z = z(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. F(x, y |
(k) |
, y |
(k+1) |
,...y |
(n) |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
явно нет y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y, y′, y′′,...y(k−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
. . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
= z(x) , |
y |
′′ |
= z |
′ |
F(x,z, z |
′ |
= 0) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(n) = z(n−k) (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка y′ = P, |
P = P(y) |
|
|
|
|
|
|
F(y′, y′′) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
явно нет x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
′ |
′′ |
|
(n) |
) = 0 |
|
|
|
явно нет x |
|
dP |
|
d |
2 |
P |
dP |
|
2 |
|
|
|
|
y′ = P(y), |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. F(y, y , y , y |
|
|
|
|
|
y′′ = |
P, y′′′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 + |
|
|
|
|
P,... |
|
|
|
|
|
dP |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′′ = |
P F(P,P′) = 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
dy |
|
Dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяются последовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. F(y(k) , y(k+1) ,...y(n) ) = 0 |
|
|
подстановки y(k) = z(x) и z′ = P , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
обладает признаками видов |
|
|
|
|
F(y , y |
) = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 и 3 |
P = P(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = z , z = z(x) |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
Характер корней характеристического уравнения |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корни |
|
Корни действительные, |
Корни комплексные, |
|
Корни комплексные, есть |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
действительные, |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
различные |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y(n) |
+ p |
y(n−1) +...+ p |
|
y = 0 |
есть повторяющиеся, т.е. |
|
повторяющиеся |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
различные, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
k1,2 = α1 ± β1 i |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k |
|
= k |
|
= k |
|
= ... = k |
|
= k |
|
α ± β i |
- пара корней |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi - числа |
|
|
|
т. е. |
|
1 |
2 |
3 |
m |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k3,4 = α 2 ± β 2 i и т. д. |
|
|
кратности m |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
≠ k2 ≠ k3 |
≠ ... ≠ kn |
|
(корень кратности m) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= c1 y1 + c2 y2 + ...+ cn yn - общее |
|
Вид частных решений y1, y2 , y3...yn , соответствующих корням характеристического уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||
y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
решение денного уравнения, где |
|
|
|
|
|
|
|
y1 = e |
k x |
|
|
|
α1 x |
|
|
|
αx |
||||||||||||||
c ,c |
2 |
,c |
3 |
...c |
n |
- произвольные постоянные, |
|
y1 = ek1 x , |
|
|
|
|
,k x |
|
|
y1 = e α1 x |
cosβ1x, |
|
y1 = e |
αx cosβx, |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 = e |
k2 x |
, |
|
|
|
y2 = x e , , |
|
|
y2 = e |
sinβ1x, |
|
y2 |
= e |
sin βx, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y1 , y2 , y3 ...yn - фундаментальная система |
|
|
|
|
|
y3 = x2 ek x , |
|
|
y3 = eα2 x |
cosβ2 x, |
|
y3 |
= x eαx cosβx, |
решений данного уравнения. |
|
M |
|
|
M |
. . . . . . . . . . . . |
|
|
M |
|
|
k n + p1 k n−1 +...+ pn = 0 |
- |
yn = ekn x |
ym = xm−1 ek x |
|
ym−1 = xm−1 eα x cosβx |
||||||
|
y |
|
= ekm+1 x |
|
ym = x |
m−1 |
e |
α x |
sinβx |
||
характеристическое уравнение |
|
m+1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
. . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
24

25
22. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Вид уравнения:
y(n) + p1 y(n−1) +...+ pn y = f (x)
Структура общего решения: y = y + y* ,
где y - общее решение соответствующего однородного уравнения,
y* - частное решение неоднородного уравнения.
Если y1 - частное решение уравнения
*
y(n) + p1 y(n−1) +...+ pn y = f1 (x) y2 - частное решение уравнения
*
y(n) + p1 y(n−1) +...+ pn y = f2 (x) , то y1+ y2 - частное решение
**
уравнения
y(n) + p1 y(n−1) +...+ pn y = f1 (x) + f2 (x)
|
Метод вариации произвольных постоянных |
|
|
|
Метод подбора частного решения |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Если y1, y2 ,...yn |
- фундаментальная система |
|
f (x) = eα x [P (x) cosβx + Q (x) sinβx]- |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
||
решений соответствующего однородного |
специальный вид правой части |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения, то общее решение неоднородного |
неоднородного уравнения (пусть n > m) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения находится по формуле |
|
|
Частное решение y* ищется в виде |
|
||||||||||||||||||||||||||||
y = c1 (x) y1 +...+ cn (x) yn , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= xr eα x |
|
|
cos βx + |
|
|
|
sin βx] |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
[P (x) |
Q |
|
(x) |
, |
||||||||||||||||||||||
если |
|
= c1 y1 + c2 y2 + ...+ cn yn |
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
где r – кратность корней α ± β i |
|
||||||||||||||||||||||||||||
где ci (x),(i = 1,2...n) находится из системы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
характеристического уравнения: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x) = An x |
n |
+ An−1 x |
+ ...+ A1 x + A0 |
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(x) yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qn (x) = Bn xn + Bn−1 xn−1 +...+ B1 x + B0 |
|
||||||||||||||||||||
∑ci′ |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть y |
|
зависит от правой части |
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
||||||||||||||||
∑ci′(x) yi′ = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) и от корней характеристического |
|||||||||||||||||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
ci (x) = ∫ci′(x)dx + ci ,i = 1,2...n |
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
(x) yi |
(n−2) = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∑ci′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
(x) yi |
(n−1) = f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑ci′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частный случай: n = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y = c1 (x) y1 + c2 (x) y2 , |
|
= c1 y1 + c2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
где c1(x) и c2 (x) находятся из системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
c′ |
(x) y + c′ |
(x) |
y |
|
= 0, |
|
|
найти c′ |
(x) и c′ (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
2 |
(x) |
y |
2 |
= f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
c′ |
(x) y′ + c′ |
′ |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c1(x) = ∫c1′(x)dx + c1, c2 (x) = ∫c2′ (x)dx + c2 ,
где c1,c2 - постоянные

23. Числовые ряды. Основные понятия
№ |
|
Понятие |
|
|
Определение и обозначение |
|
|
|||
п/п |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1. |
Ряд |
|
|
∑Un |
= U1 +U2 +U3 +...+Un + ... |
|
|
|||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
2. |
Члены ряда, общий ( n – ый ) член |
|
|
U1 ,U2 ,U3 ,...Un - бесконечная числовая |
|
|||||
ряда |
|
|
последовательность, где Un = f (n) |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 = U1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 = U1 +U2 , |
|
|
|
||
3. |
Частичные суммы ряда |
|
|
S3 = U1 +U2 +U3 , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Sn = U1 +U2 +U3 + ...+Un , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Последовательность частичных сумм |
|
S1, S2 , S3 ,...Sn ,... |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
5. |
Сходящиеся ряды |
|
|
lim Sn |
= S , где S – сумма ряда |
|
|
|||
|
|
∑Un |
= S |
|||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
lim Sn |
= |
∞ |
|
|
|
6. |
Расходящиеся ряды |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
не существует |
|
|
|
|
|
|
|
|
U +U |
2 +U3 +...+Un |
+Un+1 +Un+2 |
+...+ |
|
|
7. |
Остаток ряда |
|
|
14444244443 |
14424443 |
|
||||
|
|
|
|
Sn |
Rn |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Rn = U n+1 +Un+2 +... |
|
|
|
||
|
|
Основные свойства сходящихся рядов |
|
|
|
|||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Un |
сходится |
|
Rn - сходится |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∑Un |
сходится, S – его сумма |
|
∑λ Un сходится, λS - его сумма |
|
||||||
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∑Un |
сходится, S – его сумма |
|
|
∑(Un ±Vn ) - сходится |
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Un |
сходится, σ – его сумма |
|
|
S + σ - его сумма |
|
|
|
|||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимый признак сходимости ряда |
|
|
||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Un |
- сходится |
|
limUn = 0 |
|
|
|
||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
Замечание: limUn ≠ 0 |
|
∑Un - расходится |
|
|
n=1
26

|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. Числовые ряды с положительными членами |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение ∑Un |
= U1 +U2 +U3 +...+Un +..., Un |
> 0, n, Un - действительные числа |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 = 1+ 1 + 1 + ... + 1 + ... расходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
Гармонический ряд ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
2 |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
Обобщенный гармонический ряд |
∞ 1 |
при |
p > 1− сходится |
|
(p > 0) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Некоторые ряды и их |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n p |
|
p ≤ 1− |
расходится |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
(a ≠ 0) |
|
|
|
||||||
|
|
поведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑a qn |
q < 1− сходится S |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ряд геометрический |
|
|
|
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
1- q |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
q ≥ 1− расходится |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности при a = 1, |
q = 1 ряды |
|
1+1+1+ ...+1+ ... |
|
расходится |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1+1−...+ (−1) |
n |
+... |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Признаки сравнения |
|
|
|
Интегральный признак Коши |
|
|
|
|
Признак Даламбера |
Признак Коши |
|||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
27 |
∑Un |
= U1 +U2 |
+U3 + ...+Un + ... |
(1) |
|
|
|
∑Un , |
|
|
∑Un |
= U1 +U2 +...+Un +Un+1... |
∑Un |
= U1 + U2 |
+ ... + Un ... |
|||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 ≥ U2 ≥ U3 ≥ ... ≥ Un ≥ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Un+1 = l |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∑Vn |
= V1 +V2 +V3 + ...+Vn |
+... |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
lim n Un = l |
|
|||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ U |
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) x > 1 : непрерывная, |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
Vn |
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
положительная, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1. lim |
|
|
= A(0 < A < ∞) |
|
∑Un |
и ∑Vn |
|
|
|
|
а) l < 1 ∑Un |
- сход. |
а) l < 1 ∑Un |
- сход. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n→∞ U |
n |
|
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
невозрастающая |
f (n) = Un |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= 0 , |
lim Vn = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
где |
lim Un |
|
|
одновременно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
||||||
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
сходятся или |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) l > 1 ∑Un |
- расход. |
б) l > 1 ∑Un |
- расход. |
||||||||||
|
(при |
A = 1 U n Vn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
расходятся |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
Замечание: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2. а) Un |
≤ Vn ,∑Vn сход. |
|
∑Un |
сход |
|
|
|
|
|
|
1. Если l =1, то признак Даламбера и Коши не дают ответа о |
||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
сход. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
A ∑Un − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
поведении ряда. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
f (x)dx = |
|
∞ |
|
|
|
2. Признак Даламбера иногда используется без предельного |
||||||||||||
|
б) Un |
≤ Vn ,∑Un расход. |
|
∑Vn |
расход. |
1 |
|
∞ |
∑Un − |
расход. |
|
перехода: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Замечание: В качестве рядов для сравнения |
Замечание: |
|
|
|
|
|
Un+1 |
< 1 ∑Un |
сход., Un+1 > 1 ∑Un |
расход. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
∞ |
|
|
∞ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Un |
|
|
n=1 |
|
|
Un |
n=1 |
|
|
|
|
удобно выбирать ряды ∑ |
и ∑a qn |
∫ |
f (x)dx = lim ∫ f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
p |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

25. Знакопеременные числовые ряды
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Un = U1 +U2 +U3 + ...+Un '+..., Un - действительные числа |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение |
|
произвольного признака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
В частности, ∑(−1)n−1 n = U1 −U2 +U3 − ..., Un > 0, n - |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
знакочередующийся ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Абсолютная и |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. ∑Un |
и ∑ |
|
Un |
|
сходятся ∑Un - абсолютно сходится |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
условная |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
знакопеременных |
|
2. ∑Un |
сходится, а ∑ |
|
Un |
|
расходится |
∑Un - условно сходится |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
рядов |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Достаточные признаки сходимости знакопеременных рядов |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Признак абсолютной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Признак Лейбница |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
сходимости |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
||||||
∑Un - знакопеременный |
|
1) U1 −U2 |
+U3 −... = ∑(−1)n−1 Un |
∑(−1)n−1 Un |
сходится |
|||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|||||||
∞ |
∞ |
|
2) U1 > U2 |
> U3 |
> ... > Un > ... |
|
|
S |
|
< U1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∑ |
|
Un |
|
сходится |
∑Un |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
n=1 |
n=1 |
|
3) lim Un = 0 |
|
|
|
|
R |
n |
|
< U |
n+1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
абсолютно сходится |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Замечание: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. В сходящемся знакочередующемся ряде U −U2 +U3 −...+ (−1)n−1 Un + (−1)nUn+1 |
+ ... |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1444442444443 |
|
1442443 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
|
|
Rn |
|
сумма S может быть заменена Sn (S ≈ Sn ). Получаемая погрешность Rn = S − Sn < Un+1
2. Убывание модулей членов знакопеременного ряда можно доказать с помощью
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||||
производной. Если |
|
Un |
|
'< 0 с некоторого номера, то члены ряда ∑ |
|
Un |
|
убывают с этого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||
номера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Если расходимость ряда ∑ |
|
Un |
|
|
установлена признаком Даламбера или признаком |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Un+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Коши, то и ряд ∑Un |
|
расходится, т. к. если lim |
|
> 1 или lim n |
|
Un |
|
|
> 1, то limUn ≠ 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
Un |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||||||||
|
|
Алгоритм исследования знакопеременного ряда ∑Un на сходимость. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||||||||||||
1. Составить ряд из абсолютных членов данного ряда ∑ |
|
Un |
|
и исследовать его |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||
сходимость. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. а) ∑ |
|
Un |
|
|
|
сходится ∑Un абсолютно сходится; б) ∑ |
|
Un |
|
расходится 3 исследуй |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
n=1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Проверить условия признака Лейбница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Если 1) члены чередуются по знаку; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2) |
|
U1 |
|
> |
|
U2 |
|
> |
|
U3 |
|
> ...; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3) lim |
|
Un |
|
= 0 то 1) ∑Un |
сходится по признаку Лейбница |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28

|
∞ |
|
∞ |
||||
2) ∑Un условно сходится, т. к. ∑ |
|
Un |
|
расходится |
|||
|
|
||||||
|
n=1 |
|
n=1 |
||||
26. Функциональные ряды. Основные понятия |
|||||||
|
|
|
|||||
Понятие |
|
Определение и обозначение |
|||||
|
|
|
∞ |
||||
1. Функциональный ряд |
U1(x) +U2(x) + ...+Un (x) + ... = ∑Un (x) |
||||||
|
|
|
n=1 |
||||
2. Члены ряда |
U1(x),U2(x),...,Un (x),... - функции от x |
||||||
|
|
|
|
||||
|
∞ |
|
∞ |
||||
3. Сходимость ряда в точке |
∑Un (x0 ) |
сходится |
∑Un (x) сходится в т. x0 |
||||
n=1 |
|
n=1 |
|||||
x0 |
∞ |
|
∞ |
||||
|
∑Un (x0 ) |
расходится |
∑Un (x) расходится в т. x0 |
||||
|
n=1 |
|
n=1 |
||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑Un (x) сходится x D D - область сходимости; D - |
n=1
4.Область сходимости ряда находится:
|
|
|
|
|
Un+1(x) |
|
|
|
|
l(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
l(x) |
|
< 1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
< 1 или lim n |
|
U |
n |
(x) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
U |
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. Последовательность |
|
S1(x), S2 (x),..., Sn (x),..., где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
частичных сумм |
|
Sn (x) = U1(x) +U2 (x) + ...+Un (x), n = 1,2,3... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Сумма сходящегося ряда |
lim Sn (x) = S(x), x D S(x) - сумма ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. Остаток ряда |
|
Rn (x) = S(x) − Sn (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Равномерная сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
ε > 0 N(ε) : n ≥ N(ε) и x D |
|
Rn (x) |
|
< ε |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ряда ∑Un (x) на D |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Абсолютная и |
|
1. |
|
Un (x) |
|
≤ Un , n и x D |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
равномерная сходимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑Un (x) - сходится |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|||||||||||||||||||
ряда (признак |
|
2. числовой ряд ∑Un |
- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
абсолютно и равномерно |
|||||||||||||||||||||||||||||
Вейерштрасса) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на D |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Свойства равномерно сходящихся рядов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. S(x) - непрерывна на D |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
||||
1. ∑Un (x) = U1(x) +U2 (x) + ...+Un (x) + ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2. ∫U1(x)dx + ...+ ∫Un (x)dx + ... = ∫S(x)dx , где |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
- равномерно сходится на D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[a,b] D (почленное интегрирование) |
|||||||||||||||||||||||||||
2. Un (x) - непрерывна n и x D |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∑∫Un |
(x)dx - равномерно сходится на D , |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. S(x) - его сумма S(x) = ∑Un (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где [a, x] D
∞
1. ∑Un (x) = U1(x) + ... + Un (x) + ... -
n=1
сходится на D , S(x) - его сумма
2.Un (x) - дифференцируемые n и x D
3.Un′ (x) - непрерывны n и x D
∞
1. ∑Un (x) - равномерно сходится на D
n=1
∞
2.∑Un′ (x) = U1′(x) + ...+ Un′ (x) + ... = S′(x) x D
n=1
(почленное дифференцирование)
29