Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И.Носова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Uchebnye_karty_Chast_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.02.2015

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

1. Интегралы с бесконечными	пределами интегрирования
2. Интегралы от	неограниченных функций

3. Теоремы сравнения

7. Несобственные интегралы

Условие

Определение и обозначение

Геометрическая иллюстрация сходящихся интегралов

y = f (x),

x [a, + ∞[,

∞

const интеграл сходится,

f (x)

- непрерывна на [a,b],

∫ f (x)dx = blim→∞ ∫ f (x)dx =

y=f(x)

где a < b < +∞

∞ интеграл расходится.

y = f (x), x ]− ∞,b],

∫ f (x)dx = alim→−∞ ∫ f (x)dx = const интеграл сходится,

y=f(x)

f (x)

- непрерывна на [a,b],

где − ∞ < a < b

−∞

∞ интеграл расходится.

y = f (x), x ]− ∞,+∞[,

∞

f (x)

- непрерывна на [a,b],

∫ f (x)dx = ∫ f

(x)dx + ∫ f

(x)dx

y=f(x)

где − ∞ < a < b < +∞

−∞

(−∞<c<+∞)

интеграл сходится, если сходятся оба интеграла

y = f (x),

x [a,b),

b−ε

const интеграл сходится,

y=f(x)

x = b

точка

бесконечного

∫ f (x)dx = lim

∫ f (x)dx =

разрыва

ε→0

∞ интеграл расходится.

a b-

y = f (x),

x (a,b],

const интеграл сходится,

y=f(x)

x = a

точка

бесконечного

∫

f (x)dx = lim

∫

f (x)dx =

ε→0

∞ интеграл расходится.

разрыва

a+ε

a a

y = f (x),

y=f(x)

x [a,b], x ≠ c, a < c < b

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

x = c

точка

бесконечного

разрыва

интеграл сходится, если сходятся оба интеграла сходятся

Замечание 1. Если при отыскании предела окажется, что он не существует, то несобственный интеграл типа 1 и 2 называется расходящихся

∞

∫ f (x)dx - сходится, 0 ≤ ϕ(x)≤ f (x), x [a,+ ∞ ) ∫ϕ(x)dx - сходится, ∫ϕ(x)dx ≤ ∫ f

(x)dx

∞

∫

f (x)

dx - сходится ∫ f (x)dx - сходится абсолютно

∞

∫ f (x)dx - расходится, ϕ(x) ≥ f (x) ≥ 0,

x [a,+ ∞) ∫ϕ(x)dx - расходится

Замечание 2. Теоремы сравнения имеют место и для всех интегралов типа 1 и 2

8. Функции нескольких переменных

Определение функции

Графическое изображение

Множество равных уровней

Предел функции

Непрерывность

n = 2 D R2 , P(x, y).

n = 2

z = f (x, y)

lim

f (P) = A, если

Функция

U = f (P)

z = f (x, y)

f (x, y) = C ,

где

C = const -

P→P0

называется

непрерывной

f (P)

Г = {(x, y),

f (x, y)},

Г R3

линия уровня

определена

в точке P , если:

некоторой

окрестности

D R , E R

z=f(x,y)

f (P)

определена в точке

график функции z

= f (x, y)

U(P0 ) точки P0 ;

P D → U E U = f (P)

некоторой

ее

N = (x, y, f (x, y))

2. ε > 0 δ(ε) > 0:

окрестности U(P0 );

(функция f

отображает

z=f(x,y)

P ≠ P0

lim

f (P);

множество D на множество

ρ(P,P ) = PP0

< δ

P→P0

E )

lim

f (P) = f (P0 )

или

выполняется

В частности,

x c1 c2 c3

P→P0

1. D R2 , U = f (x, y).

(x, y, z)

f (P)− A < ε .

2. D R3 , U = f (x, y,z).

n = 3 U = f

lim U = lim( f (P)− f (P0 )) = 0

Замечание.

Предел

ρ→0

f (x, y, z) = C , где C = const - функции

не

зависит

от

поверхность уровня

способа стремления т. P где ρ = ρ(P,P )

= PP0

к т. P0

Частные производные

Дифференциал

Определение

Геометрическое изображение

Определение

Применение дифференциала к

приближенным вычислениям

U = f (x1, x2

,..., xn )

z =

f (x, y),

∂z

, т. P(x0 , y0 )

z = f (x, y) - дифференцируемая

dz ≈

z ,

∂U

∂x

∂y

функция в т.

)

f (P) ≈ f (P0 )+ df (P0 ),

, i = 1,2,...,n

В частности, n = 2, z = f (x, y)

∂xi

lim

z = ∂z x +

∂z y + α x + β y ,

xi →0 xi

P0 (x0 , y0 ), P1(x0 + x, y0 + y)

В частности, n = 2 , z = f (x, y)

∂x

∂y

x, y → 0 .

f (x

x, y

+ y) ≈

∂z

где α,β → 0

при

∂x

lim

;

∂y

lim

dz =

∂z

x +

∂z

y - главная часть

≈ f0 (x0 , y0 )+ df (x0 , y0 ),

x →0

y →0

∂x

∂y

где

Замечание. Частная производная по

приращения – дифференциал

∂z

df (x0 , y0 ) =

переменной

находится

по

x = dx

∂z

x +

∂y

правилам

дифференцирования

y = dy

dz =

dx +

∂x P

∂x

∂y

функции одной переменной, причем,

остальные

переменные

∂z

рассматриваются как постоянные.

= tgα ;

= tgβ

∂x

∂y

9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (n=2)

Сложные функции и их дифференцирование

Неявно заданные функции и их

дифференцирование

z = f (x, y),

= x(t), y = y(t)

x → t

∂z

Уравнение

F(x, y, z) = 0

определяет неявное

z = f (x(t), y(t))., где x

. z

y → t

∂x

+ ∂y

- полная производная

задание

функции

z = z(x, y)

переменных

U ∂z

∂z ∂x

∂x

∂y

x и y .

z = f (x, y),

x = x(U,V ), y = y(U,V ),

V ∂U

∂x

∂U

∂y

∂U ,

∂z

= −

Fx′(x, y, z)

z = f (x(U,V ), y(U,V )).

, где

∂z

∂x

∂z

∂y

∂x

Fz′(x, y, z) ,

V ∂V

∂x

∂V

∂y

∂V .

∂z

= −

Fy′ (x, y, z)

, где F′

(x, y, z) ≠ 0

z = f (x, y),

∂z

∂z dy

Fz′(x, y, z)

= y(x)

∂y

z = f (x, y(x)) где y

y → x

∂x +

∂y

- полная производная

Приложения дифференциального исчисления

Экстремум функции 2-х переменных

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Необходимые условия

Достаточные условия

Определение

существования

существования экстремума

экстремума

fx′(x, y) = 0

A =

′′

(x0

, y0 ),

z=f(x,y)

P0 (x0 , y0 )

fxx

′ (x, y)

= 0

′′

(x0

, y0 ),

C =

′′

(x0

, y0 ).

стационарная

точка

f yy

функции f (x, y).

= AC − B2 .

1) z = f (x, y)

- уравнение

Замечание.

Экстремум

> 0

V(P0 )

возможен и в тех точках,

а) A < 0 (x0 , y0 ) -

поверхности

α : z − z0

= fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ f y′ (x0 , y0 )(y − y0 ) -

где хотя бы одна из

т. max

частных

производных

не

уравнение касательной плоскости

существует

б)

A > 0 (x0 , y0 ) -

x − x0

y − y0

= z − z0

уравнение нормали

l :

т. min

fx′(x0, y0 )

fy′(x0, y0 )

−1

к поверхности

точке

< 0

2) F(x, y, z)= 0

- уравнение поверхности.

z=f(x,y)

(x0 , y0 )

нет

экстремума

α : Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 )+ Fy′ (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+

= 0

требуются

+ Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 - уравнение кас. плоскости

V(P0 )

дополнительные

x − x0

) =

y − y0

z − z0

l : F

) -

условия

′(x

, y

, z

F′ (x

, y

, z

)

= F′(x

, y

, z

уравнение нормали к поверхности

10. Задачи о массе фигуры

Прямой

Изогнутый

Плоская

Изогнутая

Тело R

стержень [a,b]

стержень L

пластина D

пластина Q

Фигура

0 a

Плотность

γ = f (x)

γ = f (x, y, z)

γ = f (x, y)

γ = f (x, y, z)

γ = f (P)

Элемент

= x

µ = l

= s

= q

µ = V

меры

dµ = dx

dµ = dl

dµ = ds

dµ = dq

dµ = dV

µ = dµ

Элемент

dm = f (x)dx

dx = f (x, y, z)dl

dm = f (x, y)ds

dm = f (x, y, z)dq

dm = f (x, y, z)dV

массы

m = ∫∫ f (x, y, z)dl

m = ∫∫ f (x, y)ds

m = ∫∫ f (x, y, z)dq

m = ∫∫∫ f (x, y, z)dV

Масса m

m = ∫ f (x)dx

фигуры

11.Криволинейный интеграл по длине дуги

x = x(t),

∫ f (x, y, z)dl =

∫ f (P)dl =

lim

∑ f (Pi )

max li →0 i=1

L :

y = y(t),

= z(t),

= ∫ f (x(t), y(t), z(t))

Геометрический смысл

tA ≤ t ≤ tB

∫ f (x, y)dl

dl = x&2 + y& 2 + z&2 dt

x&2 + y& 2 + z&2 dt

L : y = y(x)

∫ f (x, y)dl =

Z=f(x,y)

a ≤ x ≤ b

′

= f

(x, y(x)) 1+ [y′] dx

dl =

] dx

∫

1+ [y

L :ρ = ρ(ϕ)

∫ f (ϕ,ρ)dl =

P(x,y)

ϕ1 ≤ y ≤ ϕ2

ϕ2

∫ f (ϕ,ρ(y)) ρ2 + [ρ′ϕ ]2 dϕ

dl = ρ

dϕ

+ [ρ′ϕ ]

ϕ1

∫ f (x, y)dl = Sцил. пов−ти

12. Системы координат

Декартовы координаты

Полярные координаты и их связь с

Цилиндрические координаты

Сферические координаты и их связь с

декартовыми

M(x,y)

M(x,y,z)

M( ,

)

M(r, ,z)

M( , ,z)

ρ =

; 0 ≤ ρ ≤ ±∞

ρ =

прпл.xoy OM

r =

; 0 ≤ z < +∞

x = прox OM

;

ϕ = (Oρ, OM ); 0 < ϕ ≤ 2π

0 ≤ ρ < ±∞

y = прoy OM

(− π < ϕ ≤ π)

ϕ = (OX, ON) ; 0 ≤ ϕ < 2π

z = прoz OM

ϕ = (OX , ON) ; 0 ≤ ϕ < 2π

(− π < ϕ ≤ π)

(x, y, z) -

OM = xi

+ yj

+ zk =

z = прoz OM ; − ∞ ≤ z ≤ +∞

θ = (OZ, OM ) ; 0 ≤ θ ≤ π

радиус - вектор точки M(x, y, z)

x = r cosϕsin θ

x = ρ cosϕ

y = r sin ϕsin θ

= x2 + y2 + z2

y = ρsin ϕ

z = r cosθ

α = (OM, OX ) , β = (OM, OY)

x2 + y2 = ρ2

r2 = x2 + y2 + z2

ρ = x2 + y2

γ = (OM, OZ)

tgϕ =

cosα =

; cosβ =

;

sin ϕ =

cos γ =

x2 + y2

cosϕ =

x2 + y2

cos

α + cos

β + cos

γ = 1

					13. Двойной интеграл
	Геометрический смысл			y		y=y2(x)
	Геометрический смысл					y=y2(x)		∫∫ f (P)ds = ∫∫ f (x, y)dxdy =
	∫∫ f (x, y)dS					D	D : a ≤ x ≤ b,	∫∫ f (P)ds = ∫∫ f (x, y)dxdy =
	D					D		D		D
								D		D
										y2 (x)
			n				y1 (x)≤ y ≤ y2 (x)		b	y2 (x)
∫∫ f (P)ds =		lim	∑ f (Pi )	Si			y1 (x)≤ y ≤ y2 (x)		= ∫dx ∫ f (x, y)dy
∫∫ f (P)ds =		lim	∑ f (Pi )	Si					= ∫dx ∫ f (x, y)dy
D		max Si →0	i=1				y=y1(x)		a	y1 (x)
D			i=1
	z	z=f(x,y)
	z	z=f(x,y)			a	b	x
				y	a	b	x
				y	x=x (y)			∫∫ f (P)ds = ∫∫ f (x, y)dxdy =
					1
				d
				d		D	D :c ≤ y ≤ d ,	D		D
						D			d	x2 (y)
									d	x2 (y)
							x1(y)≤ x ≤ x2 (y)		= ∫dy ∫ f (x, y)dx
				c			x=x2(y)		c	x1 (y)
				c
							x
				y		= 2(	)
						= 2(	)
			y		D			∫∫ f (P)ds = ∫∫ f (ρ,ϕ)ρdρ dϕ =
					D
	x						D : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 ,
	x							D		D
								D		D
	f (x, y)ds = V								ϕ2	ρ2 (ϕ)
∫∫							ρ1(ϕ)≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ)		ϕ2	ρ2 (ϕ)
							ρ1(ϕ)≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ)		= ∫dϕ ∫ f (ρ,ϕ)ρdρ
		цил.тела			2
					2
D							= 1( )		ϕ1	ρ1(ϕ)
						1	= 1( )		ϕ1	ρ1(ϕ)
						1
				0
					14. Тройной интеграл

Поверхностный

z=z2(x,y)

r=r2( , )

интеграл I рода

z=z1(x,y)

r=r1( , )

∫∫∫ f (P)dV =

lim ∑ f (Pi ) Vi

∫∫ f (P)dq =

lim

∑ f (Pi

) qi

max

Vi →0 i=1

max qi →0

i=1

Q : z = z(x, y)

R : z1(x, y)≤ z ≤ z2 (x, y) R : z1(ρ,ϕ)≤ z ≤ z2 (ρ,ϕ)

R : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

где (x, y) D

где (ρ,ϕ) D

θ1(ϕ)≤ θ ≤ θ2 (ϕ)

r1(ϕ,θ)≤ θ ≤ r2 (ϕ,θ)

∫∫ f (x, y, z)dq =

∫∫∫ f (x, y, z)dV =

∫∫∫ f (ρ,ϕ, z)dV =

∫∫∫ f (r,ϕ,θ)dV =

z2 (x,y)

z2 (ρ,ϕ)

θ2 (ϕ)

= ∫∫ f (x, y, z(x, y))

ϕ2

= ∫∫ds

∫ f (x, y, z)dz

= ∫∫ds

∫ f (ρ,ϕ, z)dz

= ∫dϕ ∫sin θdθ

1+ (z′x )2 + (z′y )2 ds

z1(x,y)

z1(ρ,ϕ)

ϕ1

θ1(ϕ)

r2 (ϕ,θ)

∫r2 f (r,ϕ,θ)dz

r1(ϕ,θ)

15. Приложения интегралов по фигуре в геометрии

Геометрическая величина

Геометрическая иллюстрация

Дано

(x)

а) L : y = f (x),

a ≤ x ≤ b

или

l = ∫

1+ ( f ′(x))2 dx = ∫

1+ (ϕ′(у))2 dу

L: x = ϕ(y), a ≤ y ≤ b

ϕ2

б) L :ρ = ρ(ϕ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

l = ∫

′

l = ∫dl

ρ (ϕ)+ (ρ (ϕ)) dϕ

Длина дуги L

b (y,

)

ϕ1

в) L : x = x(t),

(x′(t))2 + (y′(t))2 dt

α ≤ t ≤ β

l =

∫

y = y(t)

x = x(t),

α ≤ t ≤ β

l = ∫ (x′(t))

+ (y′(t))

+ z′(t)

г) L : y = y(t),

z = z(t)

(x)

a) L: y = f (x), a ≤ x ≤b

S = ∫ y dx

S = ∫ f (x)dx = F(b)− F(a)

б) L : x = ϕ(y), a ≤ y ≤ b

S = ∫x dy

S = ∫ϕ(y)dy = Ф(b)−Ф(a)

в) L : x = x(t), α ≤ t ≤ β ,

Площадь плоской

(y)

y = y(t)

S = ∫ y dx

S = ∫ y(t) x′(t)dt

фигуры D

где a = x(α), b = x(β)

г) L1 : y = f1(x), L2 : y = f2(x)

f2 (x)

f (x) ≤ y ≤ f

(x)

S = ∫∫dxdy = ∫dx

∫dy = ∫( f2 (x)− f1 (x))dx

D : 1

f1 (x)

a ≤ x ≤ b

S = ∫∫ds

ϕ2

ρ2 (ϕ)

д) D :ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2(ϕ)

S = ∫∫ρdρdϕ = ∫dϕ ∫ρdρ

ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2

ϕ1

ρ1

(ϕ)

Площадь поверхности Q

Q : z = f (x, y)

S = ∫∫dq

S = ∫∫ 1+ ( fx′(x, y)) + ( fx′(x, y)) dS

Dxy - проекция Q на XOY

Dxy

В частности:

Q : z = f (x, y)

σ : 0 ≤ z ≤ f (x, y)

∫

а) площадь

S =

Z dl

S = ∫ f (x, y)dl =∫ f [x, y(x)]

1+ (y′(x))

L : y = y(x) XOY , a ≤ x ≤ b

цилиндрической

поверхности σ

направляющая

цилиндрической поверхности

(x)

= 2π

∫

f (x)

L : y = f (x), a ≤ x ≤ b

Sox

ydl

Sox = 2π∫

′

1+ ( f (x)) dx

б) Площадь поверхности

тела вращения

= 2π

∫

ϕ(y)

(y)

L : x = ϕ(y), c ≤ y ≤ d

Soy

xdl

Soy = 2π∫

′

1+ (ϕ (y)) dy

Q1 : z = f1(x, y)

f2 (x,y)

Q2 : z = f2 (x, y)

V = ∫∫∫dV

Объем тела R

V = ∫∫dS

∫dz

R : f1(x, y) ≤ z ≤ f2 (x, y)

Dxy

f1(x,y)

Dxy - проекция тела на XOY

Dxy

В частности:

z=f(x,y)

Q : z = f (x, y)

V = ∫∫zdS

V = ∫∫ f (x, y)dS

а) объем

R : 0 ≤ z ≤ f (x, y)

цилиндрического тела

Dxy

Dxy - основание тела

Dxy

(x)

L : y = f (x), a ≤ x ≤ b

Vox = π∫ y2dx

Vox = π∫ f 2 (x)dx

б) объем тела вращения

(y)

L : x = ϕ(y), c ≤ y ≤ d

Voy = π∫x2dy

Voy = π∫ϕ2 (y)dy

16. Приложение интегралов по фигуре в механике

фигура

y2(x)

наи-

мено-

y1(x)

вание ве-

b x

личины

1. Масса

физической

фигуры

m = ∫ f (x, y)dl

m = ∫ f (x, y,z)dl

m = ∫∫ f (x, y, z)ds

m = ∫∫∫ f (x, y, z)dv

m = ∫∫ f (x, y, z)dq

m = ∫ f (p)dµ

γ = f (p)

плотность

2. Мера

l = ∫dl

SD = ∫∫ds

V = ∫∫∫dv

Sпов−ти = ∫∫dq

фигуры

γ = f (p)= 1

Mox = ∫γy dt

M XOY

= ∫γxdl

M ox

= ∫∫γy ds

M xoy

= ∫∫∫γz dv

M xoy

= ∫∫γz dq

Moy = ∫γx dt

= ∫γydl

= ∫∫γx ds

= ∫∫∫γy dv

Статический

M XOZ

M oy

M xoz

= ∫∫γy dq

момент M

γ = f (p)

M XOZ

∫

γz dl

M yoz

∫∫∫

γxdv

M yoz

= ∫∫γx dq

∫γ xdl

∫∫γx ds

∫∫∫γxdv

∫∫γxdq

xC =

∫γ dl

∫∫γ ds

∫∫∫γ dv

∫∫γ dq

Координаты

∫γ ydl

∫γ уdl

∫∫γy ds

∫∫∫γy dv

∫∫γydq

yC =

центра

∫γ dl

∫∫γ ds

∫γ dl

∫∫∫γ dv

∫∫γ dq

тяжести

γ = f (p)

∫γ zdl

∫∫∫γz dv

∫∫γz dq

∫γ dl

∫∫∫γ dv

zC =

∫∫γ dq

= ∫γ y2dl

= ∫γ(y2 + z2 )dl

= ∫∫γy2ds

= ∫∫∫γ(y2 + z2 )dv

= ∫∫γ(y2 + z2 )dq

= ∫γ x2dl

= ∫γ(z2 + x2 )dl

= ∫∫γx2ds

= ∫∫∫γ(z2 + x2 )dv

= ∫∫γ(z2 + x2 )dq

= ∫γ (x2 + y2 )dl

= ∫γ(x2 + y2 )dl

0 = ∫∫γ(x2 + y2 )ds

= ∫∫∫γ(x2 + y2 )dv

= ∫∫γ(x2 + y2 )dq

xoy

= ∫γ z2dl

xoy

= ∫∫∫γz2dv

5. Момент

xoy

= ∫∫

γz

инерции

xoz

γ y

∫∫∫

γ = f (p)

∫

xoz

γy dv

xoz

= ∫∫

γy

yoz

γ x

∫∫∫

∫

yoz

γx dv

yoz

= ∫∫γx dq

0 = ∫

γ(x

+ y

∫∫∫

γ(x2 + y2 +

+ z

0 = ∫∫γ(x2 + y2 +

+ z2 )dl

)dv

+ z2 )dq

17. Скалярное поле (стационарное)

Характеристики скалярного поля, заданного функцией U = U(x, y, z) или U = U(x, y)

Понятие

Определение и

Геометрическая иллюстрация

Вычисление

обозначение

Скалярное

Скалярным полем называется часть пространства, каждой точке M(x, y, z)

поле

которого соответствует скаляр (т. е. число) U = U(M ) = U(x, y, z)

линии

z поверхности

уровня

Г. м. т., в которых U(M )

Уравнение линии уровня:

принимает постоянное

1. Линия, поверхность

U(x, y) = C .

значение:

Уравнение поверхности уровня

уровня

U(M ) = C ,

U(x, y,z) = C .

C = const .

плоскопараллельное

эквипотенциальное

поле

единичный вектор

∂u(M0)

α +

∂u(M0)

cosβ +

(направление)

cos

∂L

∂x

∂y

2. Производная по

∂U

n0 - нормаль к U(M)

∂u(M0)

направлению

U(M) - поверхность

cosγ

= {cosα,cosβ,cos

γ}

∂l

lim

уровня, про-

∂z

l→0 l

ходящая через

В частности, если U = U(x, y), то

в т. M0(x0, y0,z0)

точку M0

∂u(M0)

∂u(M0 )

cosα +

sinα

∂L

∂x

∂y

gradU(P ) – вектор,

∂u(M

) R

∂u(M

)

∂u(M

) R

gradU(M

) =

i +

j +

gradU(M0 )

∂x

∂y

∂z

направленный по нормали

В частности, если U = U(x, y), то

n0 к эквипотенциальной

n0 - единичный вектор

3. Градиент поля

поверхности, проходящей

∂u(M

) R

∂u(M

)

нормали к U(M)

через точку M в сторону

gradU(M0) =

i +

в т. M0(x0, y0,z0)

∂x

∂y

в точке M0

возрастания функции

gradU(M

)

U(M )

- единичный вектор

gradU(M0)

нормали к U(M )

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019246 Кб8Tx_1_Dec_Zan.doc
#
16.11.2019190 Кб6Tx_3_Dec_Zan.doc
#
16.11.2019250 Кб11Tx_5_ Dec_Zan.doc
#
31.07.20192 Мб37TYeHNOLOGIChYeSKIJ_PROTsYeSS_PROIZVODSTVA_SLYaB....doc
#
20.11.20192 Мб334Uchebnoe_posobie_po_okhrane_truda.doc
#
11.02.20151 Мб48Uchebnye_karty_Chast_2.pdf
#
11.02.2015779 Кб68Uchebnye_karty_Chast1.pdf
#
01.07.2025433 Кб29UHEBNIK_oficiant.doc
#
27.11.2019482 Кб48UMK_GMU.doc
#
11.02.20156 Мб64Untitled.FR11.doc
#
01.05.2025684 Кб15UP_Smazka_i_EGD_2_03_13.docx