1.3. Условия однозначности: начальные и граничные условия
Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает явление в самом общем виде, т.е. описывает класс явлений теплопроводности. Чтобы рассмотреть данный конкретный процесс следует дать дополнительное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя: 1) геометрическую форму и размеры тела, в котором протекает процесс; 2) граничные условия, характеризующие физическую связь тела с окружающей средой; 3) начальные условия, распределения температур в начальный момент времени и условия протекания процесса во времени; 4) физические свойства тела и окружающей среды, определяемые физическими параметрами; 5) интенсивность и распределение внутренних источников тепла.
Совокупность начальных и граничных условий называют краевыми условиями. Начальные условия при нагреве (или охлаждении) тела сказываются только в начальный период, но по истечении некоторого времени наступает регулярный режим, при котором распределение температур в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных.
Граничные условия задаются соответственно способу нагрева (охлаждения), т.е. воздействию окружающей среды на тело.
1.Если
задается изменение температуры на
поверхности тела во времени tпов=
f(
),
то это отвечает граничным условиямпервого
рода. На
практике встречаются случаи нагрева
или охлаждения при заданном изменении
температуры на поверхности, например,
по прямолинейному закону tпов=t0
+b
.
При очень интенсивном теплообмене
температура стенки близка к температуре
среды, т.е.
,
и этот случай близок к условиям первого
рода.
2.Если на поверхности тела задана плотность теплового потока, то мы имеем граничные условия второго рода. По закону Фурье
.
(1.19)
Градиент температуры относится к точке тела, расположенной в непосредственной близости от поверхности тела (х= +0).
3.Граничные условия третьего рода соответствуют случаю конвективного теплообмена с поверхностью тела (конвективной теплоотдаче). Тепловой баланс на границе тела имеет вид
.
(1.20)
Этот случай часто применяют при решении практических задач.
4. В высокотемпературных печах чаще всего передача тепла осуществляется лучеиспусканием. Тогда тепловой баланс на границе может быть описан уравнением
.
(1.21)
Если разность температур среды и поверхности невелика и соблюдается неравенство 0,9 <Токр/Тх=0<1,1, то этот случай можно свести к граничным условиям 3-го рода и тогда
,
(1.22)
где
—коэффициент
теплоотдачи лучеиспусканием, Вт/(м²·град);
.
(1.23)
Различают два режима распространения тепла в теле:
а)
при установившемся (стационарном)
режиме, когда температурное поле тела
не изменяется во времени, т. е. когда
температура каждой точки постоянна
(
);
б) при неустановившемся (нестационарном) режиме, когда происходит нагрев или охлаждение тела, т. е. когда температурное поле изменяется с течением времени.
На рис. 1.4 показан процесс одностороннего прогрева плоской стенки (пластины). Сначала нагревается внутренняя поверхность стенки. Постепенно тепло распространяется все глубже в толщу материала и, наконец, после более или менее продолжительного времени наступает установившийся процесс распространения тепла. Это происходит, когда стенка вполне прогрелась и тепло больше не расходуется на увеличение энтальпии ее материала, а температура ее остается неизменной.
Рис.1.4.
Процессы прогрева плоской стенки
(пластины). Кривые показывают распределение
температур по истечении времени
и т. д. от начала нагрева
На практике процессы нагревания и охлаждения в условиях нестационарных режимов встречаются очень часто. Так, в промышленных печах изделия подвергаются нагреву для тепловой обработки материала. Например, стальные слитки нагревают перед прокаткой и ковкой в нагревательных печах.
В регенеративных теплообменниках греющей средой сначала нагревается теплоемкая насадка, а затем эта насадка отдает тепло нагреваемой среде. Принцип регенерации используется и в отопительных комнатных печах: в то время, когда они топятся, разогревается кладка, а после закрытия грубы тепло нагретой кладки постепенно распространяется по помещению, где установлена печь.