
- •1. Неопределённый интеграл и его свойства
- •1.1. Первообразная и неопределённый интеграл
- •1.2. Свойства неопределённого интеграла. Таблица основных интегралов. Приёмы непосредственного интегрирования
- •1.3. Интегрирование методом замены переменной
- •1.4. Метод интегрирования по частям
- •1.5. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •2. Определённый интеграл
- •2.1. Понятие определённого интеграла. Формулы Ньютона-Лейбница
- •2.2. Основные свойства определённого интеграла
- •2.3. Приложения определённого интеграла
- •2.4. Несобственные интегралы
- •3. Функции нескольких переменных
- •3.1. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня
- •3.2. Частные производные и градиент
- •3.3. Частные производные высших порядков
- •3.4. Экстремум функции двух переменных
- •3.5. Метод наименьших квадратов
- •4. Элементы теории дифференциальных уравнений первого порядка
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •4.3. Линейные уравнения первого порядка
- •5. Вопросы к экзамену
- •Библиографический список
- •Содержание
3.2. Частные производные и градиент
Пусть
- функция двух переменных. Первая
производная функции
по переменной
при фиксированной переменной
называется (первой) частной производной
функции
по переменной
,
символически записывают так:
или
,
или
,
или
.
Аналогично определяется (первая) частная
производная функции
по переменной
:
или
,
или
,
или
.
При нахождении частной производной
надо считать постоянной переменную
.
При этом сохраняются все известные
правила дифференцирования.
Пример 20. Найти частные производные:
а)
;
б)
.
Решение
а)
.
.
б) При фиксированном
имеем показательную функцию
.
При фиксированном
имеем степенную функцию
.
Упорядоченная пара частных производных
или
функции
двух переменных обозначается символом
или
и называется градиентом функции
двух переменных. Градиент функции двух
переменных естьдвумерный вектор.
Градиент
функции
в точке
показывает направление самого быстрого
роста функции
в точке
.
Пример 21. Для функции двух переменных:
а) построить линию уровня, проходящую через точку (1; 9);
б) найти градиент в этой точке;
в) построить градиент.
Решение
а) Найдём уровень
,
который равен частному значению функции
в точке (1; 9):
.
Уравнение линии уровня имеет вид
или
,
или
,
или
- гипербола
(рис. 5).
б) Найдём
,
,
,
,
.
в) Строим вектор
выходящим из точки
.
Конец вектора в точке
с координатами
,
.
|
Рис. 5
Градиент
всегда перпендикулярен линии уровня
,
проходящей через точку
.
3.3. Частные производные высших порядков
Пусть
определена на множестве
и в каждой точке
существуют (первые) частные производные
и
.
Первые частные производные представляют
собой новые функции двух переменных.
Частные производные от функций
и
называются частными производными
второго порядка (или вторыми частными
производными) от функции
.
Таким образом, имеем четыре вторых частных производных, которые обозначаются:
или
.
Частные производные второго порядка
и
называются смешанными частными
производными. Если смешанные частные
производные непрерывны, то они обязательно
равны.
Пример 22. Найти все частные производные
второго порядка от функции.
Решение
3.4. Экстремум функции двух переменных
Локальный экстремум
Окрестностью точки
называется круг, содержащий точку
.
Точка
называется точкой локального максимума
(минимума) функции
,
если существует окрестность точки
,
в которой для любой точки
выполняется неравенство
.
Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.
Необходимое условие локального экстремума формулируется следующим образом.
Если функция
имеет частные производные первого
порядка в точке локального экстремума
,
то
.
Итак, «подозрительными» на экстремум
являются те точки
,
в которых все частные производные
первого порядка обращаются в нуль. Такие
точки называются стационарными.
Сформулируем достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Пусть функция
имеет непрерывные частные производные
второго порядка в некоторой окрестности
стационарной точки
.
Положим
.
Тогда:
1) если
,
то в точке
функция имеет локальный экстремум,
причём при
- локальный максимум, при
- локальный минимум;
2) если
,
то в точке
нет экстремума;
3) если
,
то вопрос о наличии экстремума остаётся
открытым.
Пример 23. Функция полных издержек
двух продуктовых фирм задана уравнением,
где
и
- объёмы выпуска товаров
и
соответственно. Цены этих товаров на
рынке равны 8 и 6. Определить максимально
возможное значение прибыли.
Решение
Найдём значение прибыли от реализации
товара
и
в объёмах
и
как разность между доходом от продажи
и издержками
.
.
Определим стационарные точки функции. Найдём частные производные:
,
.
Решим систему:
Точка
- стационарная точка функции.
Найдём частные производные второго порядка:
Учитывая что
,
а
,
определим:
- точка максимума. Найдём максимальное
значение прибыли
.
Условный экстремум
Экстремум функции
при условии, что
и
связаны уравнением
,
называется условным экстремумом.
Уравнение
называется уравнением связи.
Для решения задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.
Составим вспомогательную функцию
.
Функция
называется функцией Лагранжа, а
- множителем Лагранжа.
Точка условного экстремума является точкой локального экстремума функции Лагранжа , её координаты должны удовлетворять уравнениям
Пусть
- любое решение этой системы и
.
Если
,
то функция
имеет в точке
условный максимум, если
,
то условный минимум.
Пример 24. Найти экстремумпри условии
.
Решение
Функция Лагранжа имеет вид
.
Найдём частные производные
.
Решим систему
- «подозрительная» точка.
Наёдем частные производные
Вычислим определитель
.
В точке
функция
имеет условный экстремум
.