1.4. Метод интегрирования по частям

Пусть и- функции, имеющие непрерывные производные, тогда справедлива формула интегрирования по частям

.

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла, который может оказаться более простым для интегрирования.

Большую часть интегралов, вычисляемых интегрированием по частям можно разбить на группы:

1. Интегралы вида

;;,

где - многочлен.

Здесь необходимо положить , а заобозначить все остальные множители.

2. Интегралы вида

;;;

;.

Здесь необходимо положить , а заобозначить остальные множители.

Пример 5. Найти интегралы:

а) ; б); в).

Решение

а)

.

б)

.

в)

.

1.5. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, - рациональные дроби.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной. В рассмотренных примерах только дробь является правильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно путём деления числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Например, - неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель «углом».

Получим частное и остаток. Следовательно,

.

Интегрирование исходной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Рассмотрим интегрирование некоторых наиболее часто встречающихся правильных рациональных дробей.

Если степень знаменателя равна единице, то искомый интеграл имеет вид . Для его вычисления можно воспользоваться линейной подстановкой.

.

Пример 6. Найти интегралы:

а) ; б).

Решение

а)

.

б)

.

При интегрировании исходной дроби можно было первоначально произвести деление «углом», а затем применить линейную подстановку.

Если степень знаменателя равна двум, то правильная рациональная дробь имеет вид .

Рассмотрим примеры интегрирования рациональных дробей, знаменатель которых – квадратный трёхчлен.

Пример 7. Найти интегралы:

а) ; б).

Решение

а) Выделим полный квадрат двучлена в знаменателе:

.

Выполним линейную замену ,,. Имеем:

.

.

.

Подставляя вместо , получим

.

б) Разложим знаменатель на множители

, так как.

Представим исходную правильную рациональную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределёнными коэффициентами

.

Приведём правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители дробей: .

Придавая частные значения, приравниваем значения левой и правой частей, находим коэффициенты:

Значит ,

.

К интегрированию рациональных дробей приводит применение метода замены переменной в интегралах от иррациональной функции.

Пример 8. Найти интеграл.

Решение

.

2. Определённый интеграл

2.1. Понятие определённого интеграла. Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть функция определена на отрезке,. Разобьём отрезок напроизвольных частей точками. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точкуи составим сумму

где - длина частичного отрезка.

Сумма вида называется интегральной суммой для функции на. Обозначим черездлину наибольшего частичного отрезка разбиения.

Если существует конечный предел интегральной суммы при , этот предел называется определённым интегралом от функциипо отрезку. Обозначается, а сама функцияназывается интегрируемой на отрезке. Итак

.

Числа иназываются нижним и верхним пределами интегрирования,- подынтегральная функция,- переменная интегрирования.

К понятию определённого интеграла мы приходим, например, при рассмотрении задачи о нахождении объёма продукции некоторого производства.

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Для нахождения объёма продукции, произведённый за промежуток времени, разобьём отрезокна промежутки. Тогда величину объёма продукции, произведённой за промежуток временинайдём по формуле

,

где ,,.

.

Точное равенство мы получим, переходя к пределу при .

.

Учитывая определение определённого интеграла, получим , то есть если- производительность труда в момент времени, то- объём выпускаемой продукции за промежуток.

Достаточным условием интегрируемости функции на отрезкеявляется её непрерывность на этом отрезке.

Если непрерывна наи функцияявляется некоторой её первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

.

То есть определённый интеграл от функции наравен приращению первообразнойна этом отрезке.

Пример 9. Вычислить интеграл.

Решение

Так как одной из первообразных для функции является, то применяя формулу , получим

.