2.4. Несобственные интегралы

При определении определённого интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Однако возможны случаи, когда одно или оба этих условия не выполняются. В этом случае соответствующие интегралы называются несобственными.

Пусть функция интегрируема на каждом конечном отрезке, т.е. существует определённый интеграл. Тогда занесобственный интегралпринимают предел

.

Если предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. В противном случае говорят, что расходится.

Итак,

.

Аналогично можно рассмотреть несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом

.

Или с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования .

.

Если существуют несобственные интегралы и, то существует и несобственный интеграл, независящий от выбора промежуточной точки.

Пример 18. Найти несобственные интегралы:

а) ; б); в).

Решение

а) По определению имеем

Несобственный интеграл сходится и равен .

б)

.

Интеграл сходится.

в)

.

Интеграл расходится.

Кроме несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования в литературе рассматриваются несобственные интегралы от неограниченных функций. Предлагаем изучить этот материал самостоятельно.

3. Функции нескольких переменных

3.1. Понятие функции нескольких переменных. Линии уровня

Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значенийиз некоторого множествасоответствует одно значение переменной величины. Тогда говорят, что заданафункция нескольких переменных.

Переменные называются независимыми переменными (аргументами),- зависимой переменной (функцией). Множествоназывают областью определения функции.

В экономических приложениях широко используются линейные и нелинейные функции переменных.

Примеры

1. Функция , где,, …,- числа, называется линейной функцией нескольких переменных, если, то- линейная функция двух переменных. Функции,,являются нелинейными.

2. Функция представляет собой конкретный пример производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД), где- величина общественного продукта,- затраты труда,-объём производственных фондов.

3. Функция выражает величину вклада черезлет при ставке%.

Для упрощения записи ограничимся случаем функции двух переменных. Однако рассмотренная теория справедлива, если число переменных равно трём, четырём и т.д. Функцию двух переменных будем обозначать .

Графиком функции двух переменныхиназывается множество точектрёхмерного пространства таких, что. График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трёхмерном пространстве, а область определенияесть подмножество координатной плоскости.

Для изучения поведения функции двух переменных используют понятие линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных называется множество таких точек плоскости, что во всех этих точках значение функцииодно и то же и равно. Числоназывается уровнем.

Уравнение семейства линий уровня

или.

Пример 19. Построить линии уровня функции.

Решение

Уравнение линий уровня

или.

Приведём к виду . Это уравнение окружности с центром в точке (-1; 0) и радиусом(рис.4). Линии уровня – концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом. Точка (-1; 0) – вырожденная линия уровня, соответствующая значению.

Рис. 4